如图$1$所示,已知$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=BC$,直线$m$经过点$C$,过$A$、$B$两点分别作直线$m$的垂线,垂足分别为$E$、$F$.

$(1)$如图$1$,当直线$m$在$A$、$B$两点同侧时,求证:$EF=AE+BF$；
$(2)$若直线$m$绕点$C$旋转到图$2$所示的位置时$\left(BF \lt AE\right)$,其余条件不变,猜想$EF$与$AE$,$BF$有什么数量关系?并证明你的猜想；
$(3)$若直线$m$绕点$C$旋转到图$3$所示的位置时$\left(BF \gt AE\right)$其余条件不变,问$EF$与$AE$,$BF$的关系如何?直接写出猜想结论,不需证明.