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八年级数学解答题一般
题目
如图11所示,已知△ABC\triangle ABC中,∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ},AC=BCAC=BC,直线mm经过点CC,过AA、BB两点分别作直线mm的垂线,垂足分别为EE、FF.

(1)(1)如图11,当直线mm在AA、BB两点同侧时,求证:EF=AE+BFEF=AE+BF；
(2)(2)若直线mm绕点CC旋转到图22所示的位置时(BF<AE)\left(BF \lt AE\right),其余条件不变,猜想EFEF与AEAE,BFBF有什么数量关系?并证明你的猜想；
(3)(3)若直线mm绕点CC旋转到图33所示的位置时(BF>AE)\left(BF \gt AE\right)其余条件不变,问EFEF与AEAE,BFBF的关系如何?直接写出猜想结论,不需证明.
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

证明：(1)∵∠ACB=90∘\left(1\right)\because \angle ACB=90^{\circ}，
∴∠ECA+∠FCB=90∘\therefore \angle ECA+\angle FCB=90^{\circ}，
又∵AE⊥m\because AE\bot m，BF⊥mBF\bot m，
∴∠AEF=∠BFC=90∘\therefore \angle AEF=\angle BFC=90^{\circ}，
∴∠ECA+∠EAC=90∘\therefore \angle ECA+\angle EAC=90^{\circ}，
∴∠FCB=∠EAC\therefore \angle FCB=\angle EAC，
在△ACE\triangle ACE和△CBF\triangle CBF中，
{∠AEC=∠BFC∠EAC=∠FCBAC=BC\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠BFC}\\{∠EAC=∠FCB}\\{AC=BC}\end{array}\right.，
∴△ACE\therefore \triangle ACE≌△CBF(AAS)\triangle CBF\left(AAS\right)，
∴AE=CF\therefore AE=CF，CE=BFCE=BF，
∵EF=EC+CF\because EF=EC+CF，
∴EF=AE+BF\therefore EF=AE+BF；
(2)EF=AE−BF(2)EF=AE-BF，理由如下：
∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，
∴∠ACE+∠FCB=90∘\therefore \angle ACE+\angle FCB=90^{\circ}，
又∵AE⊥m\because AE\bot m，BF⊥mBF\bot m，
∴∠AEF=∠BFC=90∘\therefore \angle AEF=\angle BFC=90^{\circ}，
∴∠CAE+∠ACE=90∘\therefore \angle CAE+\angle ACE=90^{\circ}，
∴∠CAE=∠FCB\therefore \angle CAE=\angle FCB，
又∵AC=BC\because AC=BC，
∴△ACE\therefore \triangle ACE≌△CBF(AAS)\triangle CBF\left(AAS\right)，
∴AE=CF\therefore AE=CF，CE=BFCE=BF，
∴EF=CF−CE=AE−BF\therefore EF=CF-CE=AE-BF；
(3)EF=BF−AE(3)EF=BF-AE，理由如下：
∵∠AEC=∠CFB=90∘\because \angle AEC=\angle CFB=90^{\circ}，∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ}，
∴∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠BCF=90∘\therefore \angle ACE+\angle CAE=\angle ACE+\angle BCF=90^{\circ}，
∴∠CAE=∠BCF\therefore \angle CAE=\angle BCF且AC=BCAC=BC，
∴△CAE\therefore \triangle CAE≌△BCF(AAS)\triangle BCF\left(AAS\right)，
∴CE=BF\therefore CE=BF，AE=CFAE=CF，
∴EF=CE−CF=BF−AE\therefore EF=CE-CF=BF-AE，
即EF=BF−AEEF=BF-AE.

解析

证明：(1)∵∠ACB=90∘\left(1\right)\because \angle ACB=90^{\circ}，
∴∠ECA+∠FCB=90∘\therefore \angle ECA+\angle FCB=90^{\circ}，
又∵AE⊥m\because AE\bot m，BF⊥mBF\bot m，
∴∠AEF=∠BFC=90∘\therefore \angle AEF=\angle BFC=90^{\circ}，
∴∠ECA+∠EAC=90∘\therefore \angle ECA+\angle EAC=90^{\circ}，
∴∠FCB=∠EAC\therefore \angle FCB=\angle EAC，
在△ACE\triangle ACE和△CBF\triangle CBF中，
{∠AEC=∠BFC∠EAC=∠FCBAC=BC\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠BFC}\\{∠EAC=∠FCB}\\{AC=BC}\end{array}\right.，
∴△ACE\therefore \triangle ACE≌△CBF(AAS)\triangle CBF\left(AAS\right)，
∴AE=CF\therefore AE=CF，CE=BFCE=BF，
∵EF=EC+CF\because EF=EC+CF，
∴EF=AE+BF\therefore EF=AE+BF；
(2)EF=AE−BF(2)EF=AE-BF，理由如下：
∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，
∴∠ACE+∠FCB=90∘\therefore \angle ACE+\angle FCB=90^{\circ}，
又∵AE⊥m\because AE\bot m，BF⊥mBF\bot m，
∴∠AEF=∠BFC=90∘\therefore \angle AEF=\angle BFC=90^{\circ}，
∴∠CAE+∠ACE=90∘\therefore \angle CAE+\angle ACE=90^{\circ}，
∴∠CAE=∠FCB\therefore \angle CAE=\angle FCB，
又∵AC=BC\because AC=BC，
∴△ACE\therefore \triangle ACE≌△CBF(AAS)\triangle CBF\left(AAS\right)，
∴AE=CF\therefore AE=CF，CE=BFCE=BF，
∴EF=CF−CE=AE−BF\therefore EF=CF-CE=AE-BF；
(3)EF=BF−AE(3)EF=BF-AE，理由如下：
∵∠AEC=∠CFB=90∘\because \angle AEC=\angle CFB=90^{\circ}，∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ}，
∴∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠BCF=90∘\therefore \angle ACE+\angle CAE=\angle ACE+\angle BCF=90^{\circ}，
∴∠CAE=∠BCF\therefore \angle CAE=\angle BCF且AC=BCAC=BC，
∴△CAE\therefore \triangle CAE≌△BCF(AAS)\triangle BCF\left(AAS\right)，
∴CE=BF\therefore CE=BF，AE=CFAE=CF，
∴EF=CE−CF=BF−AE\therefore EF=CE-CF=BF-AE，
即EF=BF−AEEF=BF-AE.

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