$(1)$等腰$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^{\circ}$，点$A$、点$B$分别是$x$轴、$y$轴两个动点，$A\left(0,2\right)$，$B\left(3,0\right)$，过点$C$作$CF\bot y$轴于点$F$，如图$1$，

$\therefore \angle AFC=90^{\circ}$，$OA=2$，$OB=3$，
$\therefore \angle CAF+\angle ACF=90^{\circ}$.
$\therefore AC=AB$，$\angle CAF+\angle BAO=90^{\circ}$，$\angle AFC=\angle BAC$，
$\therefore \angle ACF=\angle BAO$.
在$\triangle ACF$和$\triangle ABO$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AFC=∠BAC\\∠ACF=∠BAO\\ AC=AB\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACF$≌$\triangle ABO\left(AAS\right)$，
$\therefore CF=OA=2$，$AF=OB=3$，
$\therefore OF=3-2=1$，
$\therefore C\left(-2,-1\right)$；
$(2)$证明：过点$C$作$CG\bot AC$交$y$轴于点$G$，如图$2$，

$\therefore \angle ACG=\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AGC+\angle GAC=90^{\circ}$.
$\because \angle CAG+\angle BAO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AGC=\angle BAO$.
$\because \angle ADO+\angle DAO=90^{\circ}$，$\angle DAO+\angle BAO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADO=\angle BAO$，
$\therefore \angle AGC=\angle ADO$，
在$\triangle ACG$和$\triangle ABD$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AGC=∠ADO\\∠ACG=∠BAC\\ AC=AB\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACG$≌$\triangle ABD\left(AAS\right)$，
$\therefore CG=AD=CD$，$AG=BD$，
$\because \angle ACB=\angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore \angle DCE=\angle GCE=45^{\circ}$，
在$\triangle DCE$和$\triangle GCE$中，
$\left\{\begin{array}{l}DC=GC\\∠DCE=∠GCE\\ CE=CE\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle DCE$≌$\triangle GCE\left(SAS\right)$，
$\therefore DE=GE$，
$\therefore BD=AG=AE+EG=AE+DE$，
即$BD=AE+DE$；
$(3)$结论：$BD=2\left(OA+OD\right)$；理由如下：
在$OB$上截取$OH=OD$，连接$AH$，如图$3$，

由对称性得$AD=AH$，$\angle ADH=\angle AHD$，
$\because \angle ADH=\angle BAO$，
$\therefore \angle BAO=\angle AHD$.
$\because BD$是$\angle ABC$的平分线，
$\therefore \angle ABO=\angle EBO$，
由题意得：$\angle AOB=\angle EOB=90^{\circ}$，
在$\triangle AOB$和$\triangle EOB$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ABO=∠EBO\\ OB=OB\\∠AOB=∠EOB\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AOB$≌$\triangle EOB\left(ASA\right)$，
$\therefore AB=EB$，$AO=EO$，
$\therefore \angle BAO=\angle BEO$，
$\therefore \angle AHD=\angle ADH=\angle BAO=\angle BEO$，
$\therefore \angle AEC=\angle BHA$.
在$\triangle AEC$和$\triangle BHA$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AEC=∠BHA\\∠CAE=∠ABO\\ AC=AB\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACE$≌$\triangle BAH\left(AAS\right)$，
$\therefore AE=BH=2OA$，
$\because DH=2OD$，
$\therefore BD=2\left(OA+OD\right)$.

$(1)$等腰$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^{\circ}$，点$A$、点$B$分别是$x$轴、$y$轴两个动点，$A\left(0,2\right)$，$B\left(3,0\right)$，过点$C$作$CF\bot y$轴于点$F$，如图$1$，

$\therefore \angle AFC=90^{\circ}$，$OA=2$，$OB=3$，
$\therefore \angle CAF+\angle ACF=90^{\circ}$.
$\therefore AC=AB$，$\angle CAF+\angle BAO=90^{\circ}$，$\angle AFC=\angle BAC$，
$\therefore \angle ACF=\angle BAO$.
在$\triangle ACF$和$\triangle ABO$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AFC=∠BAC\\∠ACF=∠BAO\\ AC=AB\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACF$≌$\triangle ABO\left(AAS\right)$，
$\therefore CF=OA=2$，$AF=OB=3$，
$\therefore OF=3-2=1$，
$\therefore C\left(-2,-1\right)$；
$(2)$证明：过点$C$作$CG\bot AC$交$y$轴于点$G$，如图$2$，

$\therefore \angle ACG=\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AGC+\angle GAC=90^{\circ}$.
$\because \angle CAG+\angle BAO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AGC=\angle BAO$.
$\because \angle ADO+\angle DAO=90^{\circ}$，$\angle DAO+\angle BAO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADO=\angle BAO$，
$\therefore \angle AGC=\angle ADO$，
在$\triangle ACG$和$\triangle ABD$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AGC=∠ADO\\∠ACG=∠BAC\\ AC=AB\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACG$≌$\triangle ABD\left(AAS\right)$，
$\therefore CG=AD=CD$，$AG=BD$，
$\because \angle ACB=\angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore \angle DCE=\angle GCE=45^{\circ}$，
在$\triangle DCE$和$\triangle GCE$中，
$\left\{\begin{array}{l}DC=GC\\∠DCE=∠GCE\\ CE=CE\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle DCE$≌$\triangle GCE\left(SAS\right)$，
$\therefore DE=GE$，
$\therefore BD=AG=AE+EG=AE+DE$，
即$BD=AE+DE$；
$(3)$结论：$BD=2\left(OA+OD\right)$；理由如下：
在$OB$上截取$OH=OD$，连接$AH$，如图$3$，

由对称性得$AD=AH$，$\angle ADH=\angle AHD$，
$\because \angle ADH=\angle BAO$，
$\therefore \angle BAO=\angle AHD$.
$\because BD$是$\angle ABC$的平分线，
$\therefore \angle ABO=\angle EBO$，
由题意得：$\angle AOB=\angle EOB=90^{\circ}$，
在$\triangle AOB$和$\triangle EOB$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ABO=∠EBO\\ OB=OB\\∠AOB=∠EOB\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AOB$≌$\triangle EOB\left(ASA\right)$，
$\therefore AB=EB$，$AO=EO$，
$\therefore \angle BAO=\angle BEO$，
$\therefore \angle AHD=\angle ADH=\angle BAO=\angle BEO$，
$\therefore \angle AEC=\angle BHA$.
在$\triangle AEC$和$\triangle BHA$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AEC=∠BHA\\∠CAE=∠ABO\\ AC=AB\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACE$≌$\triangle BAH\left(AAS\right)$，
$\therefore AE=BH=2OA$，
$\because DH=2OD$，
$\therefore BD=2\left(OA+OD\right)$.