（1）如图，点$D$即为所求；
法一：作线段$AB$的垂直平分线，交$BC$于点$D$.

法二：作$\angle CAD=\angle C$，边$AD$交$BC$于点$D$.

$(2)$连接$AD$，
$\because \angle ADB=2\angle C$，$\angle ADB=\angle CAD+\angle C$，
$\therefore \angle C=\angle CAD$，
$\therefore AD=CD$.
法一：
$\because \angle BAC=\angle B+\angle C$，$\angle BAC+\angle B+\angle C=180^{\circ}$，
$\therefore \angle A=90^{\circ}$.
$\because \angle DAB=90^{\circ}-\angle CAD$，
$\angle B=90^{\circ}-\angle C$，
$\therefore \angle DAB=\angle B$，
$\therefore AD=BD$.
$\therefore CD=BD$，即点$D$是$BC$中点.
法二：
$\because \angle BAC=\angle B+\angle C=\angle BAD+\angle CAD$，
$\therefore \angle BAD=\angle B$，
$\therefore AD=BD$.
$\therefore CD=BD$，即点$D$是$BC$中点.

（1）如图，点$D$即为所求；
法一：作线段$AB$的垂直平分线，交$BC$于点$D$.

法二：作$\angle CAD=\angle C$，边$AD$交$BC$于点$D$.

$(2)$连接$AD$，
$\because \angle ADB=2\angle C$，$\angle ADB=\angle CAD+\angle C$，
$\therefore \angle C=\angle CAD$，
$\therefore AD=CD$.
法一：
$\because \angle BAC=\angle B+\angle C$，$\angle BAC+\angle B+\angle C=180^{\circ}$，
$\therefore \angle A=90^{\circ}$.
$\because \angle DAB=90^{\circ}-\angle CAD$，
$\angle B=90^{\circ}-\angle C$，
$\therefore \angle DAB=\angle B$，
$\therefore AD=BD$.
$\therefore CD=BD$，即点$D$是$BC$中点.
法二：
$\because \angle BAC=\angle B+\angle C=\angle BAD+\angle CAD$，
$\therefore \angle BAD=\angle B$，
$\therefore AD=BD$.
$\therefore CD=BD$，即点$D$是$BC$中点.