D

延长$BA$，在$BA$的延长线上截取$AK=AC$，连接$EK$，
$\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle BAD=\angle CAD$，
$\because DA\bot MN$，
$\therefore \angle MAD=\angle NAD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle MAD-\angle BAD=\angle NAD-\angle CAD$，
$\therefore \angle MAB=\angle NAC$，
$\because \angle MAB=\angle EAK$，
$\therefore \angle EAK=\angle EAC$，
$\because AK=AC$，$AE=AE$，
$\therefore \triangle AEK$≌$\triangle AEC\left(SAS\right)$，
$\therefore EK=EC$，
$\because BE+EK \gt AB+AK$，
$\therefore BE+EC \gt AB+AC$，
$\therefore BE+EC+BC \gt AB+AC+BC$，
$\therefore \triangle BEC$的周长$\gt \triangle ABC$的周长$=10$，
$\therefore \triangle BEC$的周长可能是$11$.
故选：$D$.