如图,在等腰$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC$,在$AC$边上取一点$D$,连接$BD$,点$E$为线段$BD$上一点,以$BE$为斜边作等腰$Rt\triangle BEF$.连接$AE$、$AF$、$CE$,$AF$交$BD$于$G$.
$(1)$如图$1$,若$AE$垂直平分$GD$,
①求证:$\angle AFE=\angle CBD$；
②判断$CE$与$BF$的关系,并说明理由；
$(2)$如图$2$,$M$是线段$CE$上一点,若$\angle FAM=45^{\circ}$,求证:$CM=ME$.