$(1)$①证明：$\because \triangle ABC$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle BCA=\angle CBA=45^{\circ}$，
$\because \triangle BEF$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle BEF=\angle FBE=45^{\circ}$，
$\therefore \angle BCA=\angle BEF$，
$\because AE$垂直平分$CD$，
$\therefore AG=AD$，
$\therefore \angle AGD=\angle ADG$，
又$\because \angle AGD=\angle AFE+\angle BEF$，$\angle ADG=\angle CBD+\angle BCA$，
$\therefore \angle AFE=\angle CBD$；
②$CE$∥$BF$，$CE=BF$，理由如下，
设$\angle CBD=\alpha$，则$\angle CFE=\alpha$，
$\because \triangle BEF$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle BFE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AFB=90^{\circ}-\alpha$，
$\because \angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore \angle ABD=45^{\circ}+\alpha$，
$\therefore \angle ABF=\angle ABD+\angle FBE=90^{\circ}-\alpha$，
$\therefore \angle AFB=\angle ABF$，
$\therefore AB=AF$，
$\because AB=AC$，
$\therefore AC=AF$，
由①知$AG=AD$，$AE\bot GD$，
$\therefore \angle GAE=\angle DAE$，
在$\triangle CAE$和$\triangle FAE$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AF}\\{∠CAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle CAE$≌$\triangle FAE\left(SAS\right)$，
$\therefore CE=EF$，$\angle ACE=\angle AFE$，
$\therefore CE=BF$，$\angle ACE=\angle CBD$，
$\because \angle BCE=\angle BAC-\angle ACE=45^{\circ}-\angle ACE$，$\angle FBC=\angle FBE-\angle CBD=45^{\circ}-\angle CBD$，
$\therefore \angle BCE=\angle FBC$，
$\therefore CE$∥$BF$；
$(2)$证明：如图，过点$F$作$AF$的垂线交$AM$延长线于点$N$，连接$NE$，则$\angle AFN=90^{\circ}$，

$\because \angle AFN=\angle BFE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle NFE=\angle AFB$，
$\because \angle FAM=45^{\circ}$，
$\therefore AF=NF$，
$\because FE=FB$，
$\therefore \triangle FNE$≌$\triangle FAB\left(SAS\right)$，
$\therefore NE=AB$，$\angle FNE=\angle FAB$，
$\because AB=AC$，
$\therefore FN=AC$，
$\because \angle FAB+\angle MAC=90^{\circ}-\angle FAM=45^{\circ}$，
$\therefore \angle MAC=45^{\circ}-\angle FAB$，
$\because \angle FNA=45^{\circ}$，
$\therefore \angle ENM=\angle FNA-\angle FNE=45^{\circ}-\angle FNE$
$\because \angle FNE=\angle FAB$，
$\therefore \angle MAC=\angle ENM$，
$\because \angle AMC=\angle NME$，
$\therefore \triangle AMC$≌$\triangle NME\left(AAS\right)$，
$\therefore CM=ME$.

$(1)$①证明：$\because \triangle ABC$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle BCA=\angle CBA=45^{\circ}$，
$\because \triangle BEF$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle BEF=\angle FBE=45^{\circ}$，
$\therefore \angle BCA=\angle BEF$，
$\because AE$垂直平分$CD$，
$\therefore AG=AD$，
$\therefore \angle AGD=\angle ADG$，
又$\because \angle AGD=\angle AFE+\angle BEF$，$\angle ADG=\angle CBD+\angle BCA$，
$\therefore \angle AFE=\angle CBD$；
②$CE$∥$BF$，$CE=BF$，理由如下，
设$\angle CBD=\alpha$，则$\angle CFE=\alpha$，
$\because \triangle BEF$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle BFE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AFB=90^{\circ}-\alpha$，
$\because \angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore \angle ABD=45^{\circ}+\alpha$，
$\therefore \angle ABF=\angle ABD+\angle FBE=90^{\circ}-\alpha$，
$\therefore \angle AFB=\angle ABF$，
$\therefore AB=AF$，
$\because AB=AC$，
$\therefore AC=AF$，
由①知$AG=AD$，$AE\bot GD$，
$\therefore \angle GAE=\angle DAE$，
在$\triangle CAE$和$\triangle FAE$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AF}\\{∠CAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle CAE$≌$\triangle FAE\left(SAS\right)$，
$\therefore CE=EF$，$\angle ACE=\angle AFE$，
$\therefore CE=BF$，$\angle ACE=\angle CBD$，
$\because \angle BCE=\angle BAC-\angle ACE=45^{\circ}-\angle ACE$，$\angle FBC=\angle FBE-\angle CBD=45^{\circ}-\angle CBD$，
$\therefore \angle BCE=\angle FBC$，
$\therefore CE$∥$BF$；
$(2)$证明：如图，过点$F$作$AF$的垂线交$AM$延长线于点$N$，连接$NE$，则$\angle AFN=90^{\circ}$，

$\because \angle AFN=\angle BFE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle NFE=\angle AFB$，
$\because \angle FAM=45^{\circ}$，
$\therefore AF=NF$，
$\because FE=FB$，
$\therefore \triangle FNE$≌$\triangle FAB\left(SAS\right)$，
$\therefore NE=AB$，$\angle FNE=\angle FAB$，
$\because AB=AC$，
$\therefore FN=AC$，
$\because \angle FAB+\angle MAC=90^{\circ}-\angle FAM=45^{\circ}$，
$\therefore \angle MAC=45^{\circ}-\angle FAB$，
$\because \angle FNA=45^{\circ}$，
$\therefore \angle ENM=\angle FNA-\angle FNE=45^{\circ}-\angle FNE$
$\because \angle FNE=\angle FAB$，
$\therefore \angle MAC=\angle ENM$，
$\because \angle AMC=\angle NME$，
$\therefore \triangle AMC$≌$\triangle NME\left(AAS\right)$，
$\therefore CM=ME$.