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八年级数学解答题一般
题目
数学课上,同学们以等腰三角形和平行线为背景展开探究.如图11,在△ABC\triangle ABC中,AB=ACAB=AC,ADAD是BCBC边上的中线,过点AA作BCBC的平行线ll.
(1)(1)在图11中的直线ll上取点E(E(点EE在点AA左侧）,使AE=BDAE=BD,连接DEDE交ABAB于点FF,得到图22.试判断EFEF与DFDF的数量关系,并说明理由；
(2)(2)在图11中的直线ll上取点GG,H(H(点GG,HH分别在点AA的两侧）,使AG=AHAG=AH,连接DGDG交ABAB于点MM,连接DHDH交ACAC于点NN,得到图33.小宇发现GM=HNGM=HN,请你帮她说明理由.
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)EF\left(1\right)EF与DFDF的数量关系是：EF=DFEF=DF，理由如下：
∵\because直线ll∥BCBC，
∴∠AEF=∠BDF\therefore \angle AEF=\angle BDF，∠EAF=∠B\angle EAF=\angle B，
在△AEF\triangle AEF和△BDF\triangle BDF中，
{∠AEF=∠BDFAE=BD∠EAF=∠B\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠BDF}\\{AE=BD}\\{∠EAF=∠B}\end{array}\right.，
∴△AEF\therefore \triangle AEF≌△BDF(ASA)\triangle BDF\left(ASA\right)，
∴EF=DF\therefore EF=DF；
(2)(2)理由如下：
∴△ABC\therefore \triangle ABC中，AB=ACAB=AC，ADAD是BCBC边上的中线，
∴AD⊥BC\therefore AD\bot BC，∠B=∠C\angle B=\angle C，
∵\because直线ll∥BCBC，
∴AD⊥\therefore AD\bot直线ll，
又∵AG=AH\because AG=AH，
∴AD\therefore AD是GHGH的垂直平分线，
∴DG=DH\therefore DG=DH，
∴∠DGA=∠DHA\therefore \angle DGA=\angle DHA，
∵\because直线ll∥BCBC，
∴∠GAM=∠B\therefore \angle GAM=\angle B，∠NAH=∠C\angle NAH=\angle C，
又∵∠B=∠C\because \angle B=\angle C，
∴∠GAM=∠NAH\therefore \angle GAM=\angle NAH，
在△MGA\triangle MGA和△NHA\triangle NHA中，
{∠GAM=∠NAHAG=AH∠DGA=∠DHA\left\{\begin{array}{l}{∠GAM=∠NAH}\\{AG=AH}\\{∠DGA=∠DHA}\end{array}\right.，
∴△MGA\therefore \triangle MGA≌△NHA(ASA)\triangle NHA\left(ASA\right)，
∴GM=HN\therefore GM=HN.

解析

(1)EF\left(1\right)EF与DFDF的数量关系是：EF=DFEF=DF，理由如下：
∵\because直线ll∥BCBC，
∴∠AEF=∠BDF\therefore \angle AEF=\angle BDF，∠EAF=∠B\angle EAF=\angle B，
在△AEF\triangle AEF和△BDF\triangle BDF中，
{∠AEF=∠BDFAE=BD∠EAF=∠B\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠BDF}\\{AE=BD}\\{∠EAF=∠B}\end{array}\right.，
∴△AEF\therefore \triangle AEF≌△BDF(ASA)\triangle BDF\left(ASA\right)，
∴EF=DF\therefore EF=DF；
(2)(2)理由如下：
∴△ABC\therefore \triangle ABC中，AB=ACAB=AC，ADAD是BCBC边上的中线，
∴AD⊥BC\therefore AD\bot BC，∠B=∠C\angle B=\angle C，
∵\because直线ll∥BCBC，
∴AD⊥\therefore AD\bot直线ll，
又∵AG=AH\because AG=AH，
∴AD\therefore AD是GHGH的垂直平分线，
∴DG=DH\therefore DG=DH，
∴∠DGA=∠DHA\therefore \angle DGA=\angle DHA，
∵\because直线ll∥BCBC，
∴∠GAM=∠B\therefore \angle GAM=\angle B，∠NAH=∠C\angle NAH=\angle C，
又∵∠B=∠C\because \angle B=\angle C，
∴∠GAM=∠NAH\therefore \angle GAM=\angle NAH，
在△MGA\triangle MGA和△NHA\triangle NHA中，
{∠GAM=∠NAHAG=AH∠DGA=∠DHA\left\{\begin{array}{l}{∠GAM=∠NAH}\\{AG=AH}\\{∠DGA=∠DHA}\end{array}\right.，
∴△MGA\therefore \triangle MGA≌△NHA(ASA)\triangle NHA\left(ASA\right)，
∴GM=HN\therefore GM=HN.

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