数学课上,同学们以等腰三角形和平行线为背景展开探究.如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$BC$边上的中线,过点$A$作$BC$的平行线$l$.
$(1)$在图$1$中的直线$l$上取点$E($点$E$在点$A$左侧）,使$AE=BD$,连接$DE$交$AB$于点$F$,得到图$2$.试判断$EF$与$DF$的数量关系,并说明理由；
$(2)$在图$1$中的直线$l$上取点$G$,$H($点$G$,$H$分别在点$A$的两侧）,使$AG=AH$,连接$DG$交$AB$于点$M$,连接$DH$交$AC$于点$N$,得到图$3$.小宇发现$GM=HN$,请你帮她说明理由.