A,C

$A$、$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AD=DC=BC$，$\angle ADC=\angle DCB=90^{\circ}$，
$\because BF=CE$，
$\therefore BC-BF=DC-CE$，即$CF=DE$，
在$\triangle ADE$和$\triangle DCF$中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=DC\\∠ADE=∠DCF\\ DE=CF\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ADE$≌$\triangle DCF\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle DAE=\angle CDF$，
$\because \angle CDF+\angle ADG=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAE+\angle ADG=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AGD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AGM=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AGM=\angle AGD$，
$\because AE$平分$\angle CAD$，
$\therefore \angle MAG=\angle DAG$，
$\because AG=AG$，
$\therefore \triangle AGM$≌$\triangle AGD\left(ASA\right)$，
$\therefore GM=GD$，
$\because \angle AGM=\angle AGD=90^{\circ}$，
$\therefore AE$垂直平分$DM$，故$A$正确，符合题意；
$B$、如图，连接$BD$与$AC$交于点$O$，交$AG$于点$H$，连接$HM$，

$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AC\bot BD$，即$DO\bot AM$，
$\because AE$垂直平分$DM$，
$\therefore HM=HD$，
当点$P$与点$H$重合时，$PM+PN$的值最小，
此时$PM+PN=HM+HO=HD+HO=DO$，即$PM+PN$的最小值为$DO$的长，
$\because$正方形$ABCD$的边长为$4$，
$\therefore AC=BD=4\sqrt{2}$，
$\therefore DO=\frac{1}{2}BD=2\sqrt{2}$，即$PM+PN$的最小值为$2\sqrt{2}$，故$B$错误，不符合题意；
$C$、$\because AE$垂直平分$DM$，
$\therefore \angle DGE=90^{\circ}$，
$\because \angle ADC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DGE=\angle ADC$，
$\because \angle DEG=\angle AED$，
$\therefore \triangle DEG$∽$\triangle ADE$，
$\therefore \frac{DE}{AE}=\frac{GE}{DE}$，即$DE^{2}=GE\cdot AE$，
由$A$知，$CF=DE$，
$\therefore CF^{2}=GE\cdot AE$，故$C$正确，符合题意；
$D$、$\because AE$垂直平分$DM$，
$\therefore AM=AD=4$，
$\because DO=2\sqrt{2}$，
$\therefore {S}_{△ADM}=\frac{1}{2}AM⋅DO=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，故$D$错误，不符合题意；
综上所述，正确的有$A$、$C$，
故选：$AC$.