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八年级数学填空题一般
题目
如图,△ABC\triangle ABC为等边三角形,FF,EE分别是ABAB,BCBC上的一动点,且AF=BEAF=BE,连结CFCF,AEAE交于点HH,连接BHBH.
给出下列四个结论:
①∠AHF=60∘\angle AHF=60^{\circ}；②若BH=HCBH=HC,则AEAE平分∠BAC\angle BAC；
③S四边形BEHF>S△AHCS_{四边形BEHF} \gt S_{\triangle AHC}；④若BH⊥CFBH\bot CF,则CH=2HACH=2HA.
其中正确的结论有______(填写所有正确结论的序号)(填写所有正确结论的序号).
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

∵△ABC\because \triangle ABC为等边三角形，
∴AB=AC\therefore AB=AC，∠BAC=∠ABC=60∘\angle BAC=\angle ABC=60^{\circ}，
又∵AF=BE\because AF=BE，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△CAF(SAS)\triangle CAF\left(SAS\right)，
∴∠BAE=∠ACF\therefore \angle BAE=\angle ACF，
∴∠FHA=∠FCA+∠CAH=∠BAE+∠CAH=60∘\therefore \angle FHA=\angle FCA+\angle CAH=\angle BAE+\angle CAH=60^{\circ}，
故①正确；
∵AB=AC\because AB=AC，BH=HCBH=HC，
∴AH\therefore AH是BCBC的垂直平分线，
∴AE\therefore AE平分∠BAC\angle BAC，
故②正确；
∵△ABE\because \triangle ABE≌△CAF\triangle CAF，
∴S△ABE=S△CAF\therefore S_{\triangle ABE}=S_{\triangle CAF}，
∴S△ABE−S△FHA=S△CAF−S△FHA\therefore {S_{△ABE}}-{S_{△FHA}}={S_{△CAF-{S_{△FHA}}}}，
即S四边形BEHF=S△AHCS_{四边形BEHF}=S_{\triangle AHC}.
故③不正确；
如图，在CHCH上截取CD=AHCD=AH，连接ADAD，
∵AB=AC\because AB=AC，∠BAE=∠ACF\angle BAE=\angle ACF，
∴△AHB\therefore \triangle AHB≌△CDA(SAS)\triangle CDA\left(SAS\right)，
∴∠ADC=∠AHB\therefore \angle ADC=\angle AHB，
又∵BH⊥CF\because BH\bot CF，
∴∠BHF=90∘\therefore \angle BHF=90^{\circ}，
∵∠FHA=60∘\because \angle FHA=60^{\circ}，
∴∠ADC=∠AHB=90∘+60∘=150∘\therefore \angle ADC=\angle AHB=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}，∠AHD=180∘−∠AHF=180∘−60∘=120∘\angle AHD=180^{\circ}-\angle AHF=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}，
∴∠ADH=180∘−∠ADC=180∘−150∘=30∘\therefore \angle ADH=180^{\circ}-\angle ADC=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}，
∴∠HAD=180∘−∠AHD−∠ADH=180∘−120∘−30∘=30∘\therefore \angle HAD=180^{\circ}-\angle AHD-\angle ADH=180^{\circ}-120^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}，
∴HA=HD\therefore HA=HD，
∴HC=2AH\therefore HC=2AH.
故④正确；

故答案为：①②④.

解析

∵△ABC\because \triangle ABC为等边三角形，
∴AB=AC\therefore AB=AC，∠BAC=∠ABC=60∘\angle BAC=\angle ABC=60^{\circ}，
又∵AF=BE\because AF=BE，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△CAF(SAS)\triangle CAF\left(SAS\right)，
∴∠BAE=∠ACF\therefore \angle BAE=\angle ACF，
∴∠FHA=∠FCA+∠CAH=∠BAE+∠CAH=60∘\therefore \angle FHA=\angle FCA+\angle CAH=\angle BAE+\angle CAH=60^{\circ}，
故①正确；
∵AB=AC\because AB=AC，BH=HCBH=HC，
∴AH\therefore AH是BCBC的垂直平分线，
∴AE\therefore AE平分∠BAC\angle BAC，
故②正确；
∵△ABE\because \triangle ABE≌△CAF\triangle CAF，
∴S△ABE=S△CAF\therefore S_{\triangle ABE}=S_{\triangle CAF}，
∴S△ABE−S△FHA=S△CAF−S△FHA\therefore {S_{△ABE}}-{S_{△FHA}}={S_{△CAF-{S_{△FHA}}}}，
即S四边形BEHF=S△AHCS_{四边形BEHF}=S_{\triangle AHC}.
故③不正确；
如图，在CHCH上截取CD=AHCD=AH，连接ADAD，
∵AB=AC\because AB=AC，∠BAE=∠ACF\angle BAE=\angle ACF，
∴△AHB\therefore \triangle AHB≌△CDA(SAS)\triangle CDA\left(SAS\right)，
∴∠ADC=∠AHB\therefore \angle ADC=\angle AHB，
又∵BH⊥CF\because BH\bot CF，
∴∠BHF=90∘\therefore \angle BHF=90^{\circ}，
∵∠FHA=60∘\because \angle FHA=60^{\circ}，
∴∠ADC=∠AHB=90∘+60∘=150∘\therefore \angle ADC=\angle AHB=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}，∠AHD=180∘−∠AHF=180∘−60∘=120∘\angle AHD=180^{\circ}-\angle AHF=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}，
∴∠ADH=180∘−∠ADC=180∘−150∘=30∘\therefore \angle ADH=180^{\circ}-\angle ADC=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}，
∴∠HAD=180∘−∠AHD−∠ADH=180∘−120∘−30∘=30∘\therefore \angle HAD=180^{\circ}-\angle AHD-\angle ADH=180^{\circ}-120^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}，
∴HA=HD\therefore HA=HD，
∴HC=2AH\therefore HC=2AH.
故④正确；

故答案为：①②④.

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