概念学习:如果一个三角形被一条线段分割后,得到两个等腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的特异线,称这个三角形为特异三角形.
$(1)$【概念应用】如图$1$,$\triangle ABC$是等腰锐角三角形,$AB=AC\left(AB \gt BC\right)$,若$\angle ABC$的角平分线$BD$交$AC$于点$D$,且$BD$是$\triangle ABC$的一条特异线,则$\angle BDC=$______度；
$(2)$【类比猜想】如图$2$,已知$\triangle ABC$是特异三角形,且$\angle A=24^{\circ}$,$\angle B$为钝角,直接写出所有可能的$\angle B$的度数；
$(3)$【深入探究】如图$3$,在平面直角坐标系中,当$\triangle ABC$是等边三角形时,$B\left(-3,0\right)$,$C\left(1,0\right)$,动点$M$从$B$出发,沿着线段$BA$向终点$A$运动,同时,动点$N$从$C$出发,沿着射线$AC$运动,$M$、$N$两点运动速度均为$2$个单位每秒,运动时间为$t$秒,$MN$交$x$轴于点$E$,在线段$AC$上取一点$D$,连接$DM$,$DE$,使得$\angle DMN=2\angle DNM$,且求证:$DE$是$\triangle DMN$的特异线,并求出$t$的值.