$\left(1\right)\because BD$是$\triangle ABC$的一条特异线，
$\therefore \triangle BDC$，$\triangle ABD$是等腰三角形，
$\therefore \angle ACB=\angle BDC$，$\angle A=\angle ABD$，$\angle BDC=\angle A+\angle ABD$，
$\because \angle ABC$的角平分线是$BD$，
$\therefore ∠ABD=∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC$，
$\because \triangle ABC$是等腰锐角三角形，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB$，
$\because \triangle DBC$内角和为$180^{\circ}$，
$\therefore \angle CBD+\angle BDC+\angle ACB=180^{\circ}$，
$\therefore \frac{1}{2}∠BDC+∠BDC+∠BDC=180°$，
$\therefore \angle BDC=72^{\circ}$，
故答案为：$72$；
$(2)\because \triangle ABC$是特异三角形，
①当$BD$为这个三角形的特异线时，
$\therefore \triangle ABD$和$\triangle CBD$都是等腰三角形，
$Ⅰ$、当$AB=AD$，$DB=DC$时，

则$∠ABD=∠ADB=\frac{1}{2}(180°-∠A)=\frac{1}{2}(180°-24°)=78°$，
$\therefore \angle C=∠CBD=\frac{1}{2}∠ADB=39°$，
此时$\angle ABC=78^{\circ}+39^{\circ}=117^{\circ}$；
$Ⅱ$、当$AB=AD$，$BC=DC$时，
同理，$\angle ABD=\angle ADB=78^{\circ}$，
$\therefore \angle CDB=102^{\circ}$，
$\because BC=CD$，
$\therefore \angle CBD=102^{\circ}$，
$\because \angle CDB+\angle CBD \gt 180^{\circ}$，与三角形内角和定理矛盾，
$\therefore CD=CB$不成立；
Ⅲ、当$AB=AD$，$DB=BC$时，
同理，$BD=BC$不成立；
Ⅳ、当$DA=DB$，$DB=CB$时，

则$\angle ABD=\angle A=24^{\circ}$，
$\therefore \angle CDB=24^{\circ}+24^{\circ}=48^{\circ}$，
$\therefore \angle C=\angle CDB=48^{\circ}$，
$\therefore \angle CBD=180^{\circ}-\angle C-\angle CDB=84^{\circ}$，
此时$\angle ABC=84^{\circ}+24^{\circ}=108^{\circ}$；
Ⅴ、当$DA=DB$，$DB=DC$时，

则$\angle C=\angle CBD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-48^{\circ})=66^{\circ}$，
此时$\angle ABC=24^{\circ}+66^{\circ}=90^{\circ}$，不符合题意，舍去；
Ⅵ、当$DA=DB$，$CD=CB$时，

则$\angle CBD=\angle CDB=48^{\circ}$，
此时$\angle ABC=48^{\circ}+24^{\circ}=72^{\circ}$，
不合题意，舍去；
Ⅶ、当$BA=BD$，$DB=DC$时，

则$\angle ADB=\angle A=24^{\circ}$，$\angle ABD=180^{\circ}-24^{\circ}24^{\circ}=132^{\circ}$，
则$∠C=∠CBD=\frac{1}{2}∠ADB=12°$，
此时$\angle ABC=132^{\circ}+12^{\circ}=144^{\circ}$；
Ⅷ、当$BA=BD$，$DB=BC$时，
同理，$\angle ADB=\angle A=24^{\circ}$，
$\therefore \angle CDB=156^{\circ}$，
$\because DB=BC$，
$\therefore \angle DBC=\angle CDB=156^{\circ}$，
$\therefore \angle DBC+\angle CDB \gt 180^{\circ}$，与三角形内角和定理矛盾，
$\therefore DB=BC$不成立；
Ⅷ、当$BA=BD$，$CD=BC$时，同理，$CD=BC$不成立；
②当$CD$为这个三角形的特异线时，
$\therefore \triangle ACD$和$\triangle CBD$都是等腰三角形，

$\because \angle B$为钝角，
$\therefore AC \gt AB$，$AC \gt BC$，
$\therefore AD=CD$，$BC=BD$，
$\therefore \angle ACD=\angle A=24^{\circ}$，
$\therefore \angle CDB=\angle BCD=2\angle A=48^{\circ}$，
$\therefore \angle B=180^{\circ}-\angle BCD-\angle CDB=84^{\circ}(不符合题意)$；
③当$AD$为这个三角形的特异线时，
$\therefore \triangle ACD$和$\triangle ABD$都是等腰三角形，

$\because \angle B$为钝角，
$\therefore AC \gt AB$，$AC \gt BC$，
$\therefore AD=CD$，$AB=BD$，
设$\angle C=x$，则$\angle CAD=x$，
$\therefore \angle ADB=\angle BAD=\angle A-\angle CAD=24^{\circ}-x$，$\angle B=180^{\circ}-\angle C-\angle BAC=156^{\circ}-x$，
$\because \angle B=180^{\circ}-\angle ADB-\angle BAD=132^{\circ}+2x$，
$\therefore 132^{\circ}+2x=156^{\circ}-x$，
$\therefore x=8^{\circ}$，
$\therefore \angle B=156^{\circ}-8^{\circ}=148^{\circ}$；
综上所述，$\angle B$的度数为$108^{\circ}$或$117^{\circ}$或$44^{\circ}$或$48^{\circ}$；
$(3)$证明：过点$M$作$MQ$∥$AC$交$BC$于点$Q$，过点$D$作$DF\bot MN$于点$F$，延长$NM$到点$G$，使$MG=MD$，连接$DG$，

$\because \triangle ABC$是等边三角形，$M$、$N$两点运动速度均为$2$个单位每秒，
$\therefore AB=AC$，$BM=CN$，$\angle B=\angle ACB=60^{\circ}$，
$\because MQ$∥$AC$，
$\therefore \angle MQB=\angle ACB=60^{\circ}$，$\angle QMN=\angle MNC$，$\angle MQC=\angle QCN$，
$\therefore \angle MQB=\angle B=60^{\circ}$，
$\therefore MB=MQ$，
$\therefore MQ=CN$，
$\therefore \triangle EMQ$≌$\triangle ENC\left(ASA\right)$，
$\therefore EM=EN$，$EQ=EC$，
$\because MG=MD$，
$\therefore \angle G=\angle MDG$，
$\therefore \angle DMN=2\angle G$，
$\because \angle DMN=2\angle DNM$，
$\therefore \angle G=\angle DNM$，
$\therefore \triangle DGN$是等腰三角形，$DG=DN$，
由等腰三角形三线合一的性质可得$GF=NF$，
$\because ME=EN$，
设$MF=a$，$EF=b$，
$\therefore EN=a+b$，
设$DM=x$，则$MG=x$，
$\therefore GF=EN$，
即$a+x=b+a+b$，
$\therefore x=2b$，
$\therefore DM=2EF$，
在$Rt\triangle DEF$中，$\angle DEM=60^{\circ}$，
$\therefore \angle EDF=30^{\circ}$，
$\therefore DE=2EF$，
$\therefore DE=DM$，
$\therefore \triangle MDE$为等腰三角形，
$\because \angle DEM=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle MDE$为等边三角形，
$\therefore ME=DE$，
$\because ME=EN$，
$\therefore DE=EN$，
$\therefore \angle DNF=\angle EDN=\frac{1}{2}∠DEM=30^{\circ}$，
$\therefore \triangle EDN$是等腰三角形，
$\therefore DE$将$\triangle MDN$分为$\triangle MDE$、$\triangle EDN$两个等腰三角形，
$\therefore DE$为$\triangle MDN$的特异线；
$\because \angle EDN=\angle DNE=30^{\circ}$，$\angle ACB=60^{\circ}$，$\angle MED=60^{\circ}$，
$\therefore \angle CEN=\angle ACB-\angle END=30^{\circ}$，$\angle AMN=180^{\circ}-\angle END-\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DEC=180^{\circ}-\angle MED-\angle CEN=90^{\circ}$，
$\therefore CE=CN=BM=2t$，
$\therefore BE=4-2t$，
在$Rt\triangle BME$中，$\angle BEM=30^{\circ}$，
$\therefore BM=\frac{1}{2}BE$，
$\therefore 2t=\frac{1}{2}(4-2t)$，
$\therefore t=\frac{2}{3}$.

$\left(1\right)\because BD$是$\triangle ABC$的一条特异线，
$\therefore \triangle BDC$，$\triangle ABD$是等腰三角形，
$\therefore \angle ACB=\angle BDC$，$\angle A=\angle ABD$，$\angle BDC=\angle A+\angle ABD$，
$\because \angle ABC$的角平分线是$BD$，
$\therefore ∠ABD=∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC$，
$\because \triangle ABC$是等腰锐角三角形，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB$，
$\because \triangle DBC$内角和为$180^{\circ}$，
$\therefore \angle CBD+\angle BDC+\angle ACB=180^{\circ}$，
$\therefore \frac{1}{2}∠BDC+∠BDC+∠BDC=180°$，
$\therefore \angle BDC=72^{\circ}$，
故答案为：$72$；
$(2)\because \triangle ABC$是特异三角形，
①当$BD$为这个三角形的特异线时，
$\therefore \triangle ABD$和$\triangle CBD$都是等腰三角形，
$Ⅰ$、当$AB=AD$，$DB=DC$时，

则$∠ABD=∠ADB=\frac{1}{2}(180°-∠A)=\frac{1}{2}(180°-24°)=78°$，
$\therefore \angle C=∠CBD=\frac{1}{2}∠ADB=39°$，
此时$\angle ABC=78^{\circ}+39^{\circ}=117^{\circ}$；
$Ⅱ$、当$AB=AD$，$BC=DC$时，
同理，$\angle ABD=\angle ADB=78^{\circ}$，
$\therefore \angle CDB=102^{\circ}$，
$\because BC=CD$，
$\therefore \angle CBD=102^{\circ}$，
$\because \angle CDB+\angle CBD \gt 180^{\circ}$，与三角形内角和定理矛盾，
$\therefore CD=CB$不成立；
Ⅲ、当$AB=AD$，$DB=BC$时，
同理，$BD=BC$不成立；
Ⅳ、当$DA=DB$，$DB=CB$时，

则$\angle ABD=\angle A=24^{\circ}$，
$\therefore \angle CDB=24^{\circ}+24^{\circ}=48^{\circ}$，
$\therefore \angle C=\angle CDB=48^{\circ}$，
$\therefore \angle CBD=180^{\circ}-\angle C-\angle CDB=84^{\circ}$，
此时$\angle ABC=84^{\circ}+24^{\circ}=108^{\circ}$；
Ⅴ、当$DA=DB$，$DB=DC$时，

则$\angle C=\angle CBD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-48^{\circ})=66^{\circ}$，
此时$\angle ABC=24^{\circ}+66^{\circ}=90^{\circ}$，不符合题意，舍去；
Ⅵ、当$DA=DB$，$CD=CB$时，

则$\angle CBD=\angle CDB=48^{\circ}$，
此时$\angle ABC=48^{\circ}+24^{\circ}=72^{\circ}$，
不合题意，舍去；
Ⅶ、当$BA=BD$，$DB=DC$时，

则$\angle ADB=\angle A=24^{\circ}$，$\angle ABD=180^{\circ}-24^{\circ}24^{\circ}=132^{\circ}$，
则$∠C=∠CBD=\frac{1}{2}∠ADB=12°$，
此时$\angle ABC=132^{\circ}+12^{\circ}=144^{\circ}$；
Ⅷ、当$BA=BD$，$DB=BC$时，
同理，$\angle ADB=\angle A=24^{\circ}$，
$\therefore \angle CDB=156^{\circ}$，
$\because DB=BC$，
$\therefore \angle DBC=\angle CDB=156^{\circ}$，
$\therefore \angle DBC+\angle CDB \gt 180^{\circ}$，与三角形内角和定理矛盾，
$\therefore DB=BC$不成立；
Ⅷ、当$BA=BD$，$CD=BC$时，同理，$CD=BC$不成立；
②当$CD$为这个三角形的特异线时，
$\therefore \triangle ACD$和$\triangle CBD$都是等腰三角形，

$\because \angle B$为钝角，
$\therefore AC \gt AB$，$AC \gt BC$，
$\therefore AD=CD$，$BC=BD$，
$\therefore \angle ACD=\angle A=24^{\circ}$，
$\therefore \angle CDB=\angle BCD=2\angle A=48^{\circ}$，
$\therefore \angle B=180^{\circ}-\angle BCD-\angle CDB=84^{\circ}(不符合题意)$；
③当$AD$为这个三角形的特异线时，
$\therefore \triangle ACD$和$\triangle ABD$都是等腰三角形，

$\because \angle B$为钝角，
$\therefore AC \gt AB$，$AC \gt BC$，
$\therefore AD=CD$，$AB=BD$，
设$\angle C=x$，则$\angle CAD=x$，
$\therefore \angle ADB=\angle BAD=\angle A-\angle CAD=24^{\circ}-x$，$\angle B=180^{\circ}-\angle C-\angle BAC=156^{\circ}-x$，
$\because \angle B=180^{\circ}-\angle ADB-\angle BAD=132^{\circ}+2x$，
$\therefore 132^{\circ}+2x=156^{\circ}-x$，
$\therefore x=8^{\circ}$，
$\therefore \angle B=156^{\circ}-8^{\circ}=148^{\circ}$；
综上所述，$\angle B$的度数为$108^{\circ}$或$117^{\circ}$或$44^{\circ}$或$48^{\circ}$；
$(3)$证明：过点$M$作$MQ$∥$AC$交$BC$于点$Q$，过点$D$作$DF\bot MN$于点$F$，延长$NM$到点$G$，使$MG=MD$，连接$DG$，

$\because \triangle ABC$是等边三角形，$M$、$N$两点运动速度均为$2$个单位每秒，
$\therefore AB=AC$，$BM=CN$，$\angle B=\angle ACB=60^{\circ}$，
$\because MQ$∥$AC$，
$\therefore \angle MQB=\angle ACB=60^{\circ}$，$\angle QMN=\angle MNC$，$\angle MQC=\angle QCN$，
$\therefore \angle MQB=\angle B=60^{\circ}$，
$\therefore MB=MQ$，
$\therefore MQ=CN$，
$\therefore \triangle EMQ$≌$\triangle ENC\left(ASA\right)$，
$\therefore EM=EN$，$EQ=EC$，
$\because MG=MD$，
$\therefore \angle G=\angle MDG$，
$\therefore \angle DMN=2\angle G$，
$\because \angle DMN=2\angle DNM$，
$\therefore \angle G=\angle DNM$，
$\therefore \triangle DGN$是等腰三角形，$DG=DN$，
由等腰三角形三线合一的性质可得$GF=NF$，
$\because ME=EN$，
设$MF=a$，$EF=b$，
$\therefore EN=a+b$，
设$DM=x$，则$MG=x$，
$\therefore GF=EN$，
即$a+x=b+a+b$，
$\therefore x=2b$，
$\therefore DM=2EF$，
在$Rt\triangle DEF$中，$\angle DEM=60^{\circ}$，
$\therefore \angle EDF=30^{\circ}$，
$\therefore DE=2EF$，
$\therefore DE=DM$，
$\therefore \triangle MDE$为等腰三角形，
$\because \angle DEM=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle MDE$为等边三角形，
$\therefore ME=DE$，
$\because ME=EN$，
$\therefore DE=EN$，
$\therefore \angle DNF=\angle EDN=\frac{1}{2}∠DEM=30^{\circ}$，
$\therefore \triangle EDN$是等腰三角形，
$\therefore DE$将$\triangle MDN$分为$\triangle MDE$、$\triangle EDN$两个等腰三角形，
$\therefore DE$为$\triangle MDN$的特异线；
$\because \angle EDN=\angle DNE=30^{\circ}$，$\angle ACB=60^{\circ}$，$\angle MED=60^{\circ}$，
$\therefore \angle CEN=\angle ACB-\angle END=30^{\circ}$，$\angle AMN=180^{\circ}-\angle END-\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DEC=180^{\circ}-\angle MED-\angle CEN=90^{\circ}$，
$\therefore CE=CN=BM=2t$，
$\therefore BE=4-2t$，
在$Rt\triangle BME$中，$\angle BEM=30^{\circ}$，
$\therefore BM=\frac{1}{2}BE$，
$\therefore 2t=\frac{1}{2}(4-2t)$，
$\therefore t=\frac{2}{3}$.