C

$\because$将$a^{2}-b^{2}=c\left(a-b\right)$移项得：
$\therefore a^{2}-b^{2}-c\left(a-b\right)=0$，
$\therefore \left(a-b\right)\left(a+b-c\right)=0$，
$\because a+b-c \gt 0$，
$\therefore a-b=0$，即$a=b$，
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形，
故选：$C$.