A

设小正方形的边长是$1$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$，
$A$.三角形的三边的长度分别为：$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$，$2$，$4$，
$\because \frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\sqrt{2}$，
$\therefore \frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$，所以与格点$\triangle ABC$相似，故本选项符合题意；
$B$.三角形的三边的长度分别为：$2$，$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$，$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{2}$，
$\because \frac{2}{2}=1$，$\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore \frac{2}{2}\neq \frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{2}}\neq \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$，所以与格点$\triangle ABC$不相似，故本选项不符合题意；
$C$.三角形的三边的长度分别为：$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}$，$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}$，$3$，
$\because \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$，$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
$\therefore \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\neq \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\neq \frac{3}{\sqrt{10}}$，所以与格点$\triangle ABC$不相似，故本选项不符合题意；
$D$.三角形的三边的长度分别为：$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}$，$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\because \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$，$\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{3}{2}$，$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\sqrt{2}$，
$\therefore \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\neq \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\neq \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$，所以与格点$\triangle ABC$不相似，故本选项不符合题意；
故选：$A$.