题目
如图,在等边
△ABC中,点
D为
AB边上一点,点
E为
BC边上一点,连接
DE并延长
DE交
AC延长线于点
F,
DE=FE,过点
E作
EG⊥BC交
AC于点
G.
(1)求证:
BD=CF；
(2)当
DF⊥AB时,试判断以
D、
E、
G为顶点的三角形的形状,并说明理由.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念
答案与解析
答案
(1)证明：延长
BC至
H，使
EH=BE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘，
∴∠FCH=∠ACB=60∘，
在
△BED和
△HEF中，
⎩⎨⎧DE=FE∠BED=∠HEFBE=HE，
∴△BED≌△HEF(SAS)，
∴BD=FH，
∠H=∠ABC=60∘，
∴△FCH为等边三角形，
∴CF=FH，
∴BD=CF；
(2)△DEG等边三角形，
理由如下：
∵DF⊥AB，
∠ABC=60∘，
∴∠BED=30∘，
∴∠DEG=180∘−30∘−90∘=60∘，
∴∠GEF=120∘，
∵EG⊥BC，
∠ACB=60∘，
∴∠EGC=30∘，
∴∠EGC=∠EFG=30∘，
∴EG=EF，
由（1）可知：
△BED≌△HEF，
∴ED=EF，
∴EG=ED，
∴△DEG等边三角形.
解析
(1)证明：延长
BC至
H，使
EH=BE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘，
∴∠FCH=∠ACB=60∘，
在
△BED和
△HEF中，
⎩⎨⎧DE=FE∠BED=∠HEFBE=HE，
∴△BED≌△HEF(SAS)，
∴BD=FH，
∠H=∠ABC=60∘，
∴△FCH为等边三角形，
∴CF=FH，
∴BD=CF；
(2)△DEG等边三角形，
理由如下：
∵DF⊥AB，
∠ABC=60∘，
∴∠BED=30∘，
∴∠DEG=180∘−30∘−90∘=60∘，
∴∠GEF=120∘，
∵EG⊥BC，
∠ACB=60∘，
∴∠EGC=30∘，
∴∠EGC=∠EFG=30∘，
∴EG=EF，
由（1）可知：
△BED≌△HEF，
∴ED=EF，
∴EG=ED，
∴△DEG等边三角形.
