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八年级数学填空题一般
题目
综合与实践
中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用"倍长中线法"添加辅助线.
【提出问题】如图①,△ABC\triangle ABC中,若AB=4AB=4,AC=6AC=6,求BCBC边上的中线ADAD的取值范围；
【探究方法】同学们经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长ADAD至点EE,使DE=DADE=DA,连接BEBE.
请你根据同学们的方法完成下面的任务:
①根据题意,补全图形；
②根据同学们的方法,可以证______≌______,\_\_\_\_\_\_,由三角形的三边关系可以求得ADAD的取值范围是______(直接填空）；
【拓展探究】如图②,在△ABC\triangle ABC和△ADE\triangle ADE中,AB=ACAB=AC,AD=AEAD=AE,∠BAC+∠DAE=180∘\angle BAC+\angle DAE=180^{\circ},连接BEBE,CDCD,若AMAM为△ACD\triangle ACD的中线,猜想AMAM与BEBE的数量关系并说明理由.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

【探究方法】①如图①：

②∵AD\because AD是BCBC边上的中线，
∴CD=BD\therefore CD=BD，
在△ADC\triangle ADC和△EDB\triangle EDB中，
{CD=BD∠ADC=∠BDCDE=DA\left\{\begin{array}{l}CD=BD\\∠ADC=∠BDC\\ DE=DA\end{array}\right.，
∴△ADC\therefore \triangle ADC≌△EDB(SAS)\triangle EDB\left(SAS\right)，
∴AC=BE\therefore AC=BE，
∵AB=4\because AB=4，AC=6AC=6，DE=DADE=DA，
∴BE=AC=6\therefore BE=AC=6，AE=2ADAE=2AD，
在△ABE\triangle ABE中，由三角形三边关系可知BE−AB<AE<BE+ABBE-AB \lt AE \lt BE+AB，
∴6−4<2AD<6+4\therefore 6-4 \lt 2AD \lt 6+4，
∴1<AD<5\therefore 1 \lt AD \lt 5，即ADAD的取值范围是1<AD<51 \lt AD \lt 5；
故答案为：△ADC\triangle ADC；△EDB\triangle EDB；1<AD<51 \lt AD \lt 5；
【拓展探究】猜想：BE=2AMBE=2AM；理由如下：
延长AMAM到NN，使AM=MNAM=MN，连接CNCN，如图②：

则AN=2AMAN=2AM，
∵AM\because AM为△ACD\triangle ACD的中线，
∴DM=CM\therefore DM=CM，
在△ADM\triangle ADM和△NCM\triangle NCM中，
{DM=CM∠AMD=∠NMCAM=MN\left\{\begin{array}{l}DM=CM\\∠AMD=∠NMC\\ AM=MN\end{array}\right.
,∴△ADM,\therefore \triangle ADM≌△NCM(SAS)\triangle NCM\left(SAS\right)，
∴AD=CN\therefore AD=CN，∠DAM=∠N\angle DAM=\angle N，
∴AD\therefore AD∥CNCN，
∴∠DAC+∠ACN=180∘\therefore \angle DAC+\angle ACN=180^{\circ}，
∵∠BAC+∠DAE=180∘\because \angle BAC+\angle DAE=180^{\circ}，
∴∠BAE+∠DAC=180∘\therefore \angle BAE+\angle DAC=180^{\circ}，
∴∠ACN=∠BAE\therefore \angle ACN=\angle BAE，
∵AD=AE\because AD=AE，AD=CNAD=CN，
∴CN=AE\therefore CN=AE，
在△ACN\triangle ACN和△BAE\triangle BAE中，
{AB=AC∠ACN=∠BAECN=AE\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠ACN=∠BAE\\ CN=AE\end{array}\right.
,∴△ACN,\therefore \triangle ACN≌△BAE(SAS)\triangle BAE\left(SAS\right)，
∴AN=BE\therefore AN=BE，
∵AN=2AM\because AN=2AM，
∴BE=2AM\therefore BE=2AM.

解析

【探究方法】①如图①：

②∵AD\because AD是BCBC边上的中线，
∴CD=BD\therefore CD=BD，
在△ADC\triangle ADC和△EDB\triangle EDB中，
{CD=BD∠ADC=∠BDCDE=DA\left\{\begin{array}{l}CD=BD\\∠ADC=∠BDC\\ DE=DA\end{array}\right.，
∴△ADC\therefore \triangle ADC≌△EDB(SAS)\triangle EDB\left(SAS\right)，
∴AC=BE\therefore AC=BE，
∵AB=4\because AB=4，AC=6AC=6，DE=DADE=DA，
∴BE=AC=6\therefore BE=AC=6，AE=2ADAE=2AD，
在△ABE\triangle ABE中，由三角形三边关系可知BE−AB<AE<BE+ABBE-AB \lt AE \lt BE+AB，
∴6−4<2AD<6+4\therefore 6-4 \lt 2AD \lt 6+4，
∴1<AD<5\therefore 1 \lt AD \lt 5，即ADAD的取值范围是1<AD<51 \lt AD \lt 5；
故答案为：△ADC\triangle ADC；△EDB\triangle EDB；1<AD<51 \lt AD \lt 5；
【拓展探究】猜想：BE=2AMBE=2AM；理由如下：
延长AMAM到NN，使AM=MNAM=MN，连接CNCN，如图②：

则AN=2AMAN=2AM，
∵AM\because AM为△ACD\triangle ACD的中线，
∴DM=CM\therefore DM=CM，
在△ADM\triangle ADM和△NCM\triangle NCM中，
{DM=CM∠AMD=∠NMCAM=MN\left\{\begin{array}{l}DM=CM\\∠AMD=∠NMC\\ AM=MN\end{array}\right.
,∴△ADM,\therefore \triangle ADM≌△NCM(SAS)\triangle NCM\left(SAS\right)，
∴AD=CN\therefore AD=CN，∠DAM=∠N\angle DAM=\angle N，
∴AD\therefore AD∥CNCN，
∴∠DAC+∠ACN=180∘\therefore \angle DAC+\angle ACN=180^{\circ}，
∵∠BAC+∠DAE=180∘\because \angle BAC+\angle DAE=180^{\circ}，
∴∠BAE+∠DAC=180∘\therefore \angle BAE+\angle DAC=180^{\circ}，
∴∠ACN=∠BAE\therefore \angle ACN=\angle BAE，
∵AD=AE\because AD=AE，AD=CNAD=CN，
∴CN=AE\therefore CN=AE，
在△ACN\triangle ACN和△BAE\triangle BAE中，
{AB=AC∠ACN=∠BAECN=AE\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠ACN=∠BAE\\ CN=AE\end{array}\right.
,∴△ACN,\therefore \triangle ACN≌△BAE(SAS)\triangle BAE\left(SAS\right)，
∴AN=BE\therefore AN=BE，
∵AN=2AM\because AN=2AM，
∴BE=2AM\therefore BE=2AM.

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