过点$A$作$AH\bot BC$于点$H$.设$AN=CM=x$.

$\because AB=AC=\sqrt{2}$，$\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore BC=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=2$，
$\because AH\bot BC$，
$\therefore BH=AH=1$，
$\therefore AH=BH=CH=1$，
$\therefore AM+BN=\sqrt{{1}^{2}+(1-x)^{2}}+\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+{x}^{2}}$，
欲求$AM+BN$的最小值，相当于在$x$轴上寻找一点$P\left(x,0\right)$，到$E\left(1,1\right)$，$F(0$，$\sqrt{2})$的距离和的最小值，如图$1$中，

作点$F$关于$x$轴的对称点${F\’}$，当$E$，$P$，${F\’}$共线时，$PE+PF$的值最小，
此时直线$EF\’$的解析式为$y=(\sqrt{2}+1)x-\sqrt{2}$，
当$y=0$时，$x=2-\sqrt{2}$，
$\therefore AM+BN$的值最小时，$CM$的值为$2-\sqrt{2}$，
故答案为：$2-\sqrt{2}$.

过点$A$作$AH\bot BC$于点$H$.设$AN=CM=x$.

$\because AB=AC=\sqrt{2}$，$\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore BC=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=2$，
$\because AH\bot BC$，
$\therefore BH=AH=1$，
$\therefore AH=BH=CH=1$，
$\therefore AM+BN=\sqrt{{1}^{2}+(1-x)^{2}}+\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+{x}^{2}}$，
欲求$AM+BN$的最小值，相当于在$x$轴上寻找一点$P\left(x,0\right)$，到$E\left(1,1\right)$，$F(0$，$\sqrt{2})$的距离和的最小值，如图$1$中，

作点$F$关于$x$轴的对称点${F\’}$，当$E$，$P$，${F\’}$共线时，$PE+PF$的值最小，
此时直线$EF\’$的解析式为$y=(\sqrt{2}+1)x-\sqrt{2}$，
当$y=0$时，$x=2-\sqrt{2}$，
$\therefore AM+BN$的值最小时，$CM$的值为$2-\sqrt{2}$，
故答案为：$2-\sqrt{2}$.