如图,以直角三角形$AOC$的直角顶点$O$为原点,分别以$OC$、$OA$所在直线为$x$轴、$y$轴建立平面直角坐标系,点$A\left(0,a\right)$,$C\left(C,0\right)$满足$\sqrt{a-2c}+|c-4|=0$.
$(1)$点$A$的坐标为______,点$C$的坐标为______；
$(2)$直角三角形$AOC$的面积为______；
$(3)$已知$x$轴、$y$轴上分别有动点$P$、$Q$,点$P$从点$C$出发以每秒$1$个单位长度的速度沿$x$轴负方向匀速移动,点$Q$从点$O$出发以每秒$2$个单位长度的速度沿$y$轴正方向匀速移动,两点同时出发,当点$Q$到达点$A$时,整个运动随之结束.$AC$的中点$D$的坐标是$\left(2,4\right)$,设运动时间为$t\left(t \gt 0\right)$秒,是否存在这样的$t$值,使$S_{\triangle ODP}=S_{\triangle ODQ}$?若存在,请求出$t$的值；若不存在,请说明理由.