A

①若$|a|=a$，则$a \gt 0$，说法错误，应为$a\geqslant 0$；
②有理数包括整数、$0$和分数，说法错误，应为包括整数和分数；
③任何正数都大于它的倒数，说法错误，例如$\frac{1}{2}$的倒数；
④代数式$a^{2}+1$的值永远是正的，说法正确；
⑤几个有理数相乘，当负因数的个数是奇数个时，积一定为负，说法错误，应为几个不为$0$的有理数相乘，当负因数的个数是奇数个时，积一定为负；
故选：$A$.