A

如图：

$\because AD$平分$\angle BAC$，点$H$在$AD$上，
$\therefore$点$H$到$AB$、$AC$的距离相等，
$\because BE$是$AC$边上的中线，
$\therefore S_{\triangle ABE}=S_{\triangle BCE}$，$S_{\triangle AHE}=S_{\triangle CHE}$，
$\therefore S_{\triangle ABE}-S_{\triangle AHE}=S_{\triangle BCE}-S_{\triangle CHE}$，
$\therefore S_{\triangle ABH}=S_{\triangle CBH}$，
$\therefore$点$H$是$\angle BAC$的角平分线与$AC$边上中线的交点，
故选：$A$.