A

根据题意可知，$\left(m-2\right)x^{|2m-3|}=6$是关于$x$的一元一次方程，
$\therefore |2m-3|=1$，
$2m-3=\pm 1$，
$2m=4$或$2m=2$，
解得：$m=2$或$m=1$，
又$\because m-2\neq 0$，
解得：$m\neq 2$，
故$m=1$.
故选：$A$.