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八年级数学填空题一般
题目
综合与实践:
无需语言的证明又称无字证明(proofwithoutwords(proofwithoutwords,简称PWW)PWW),本质上是一种数学语言,形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形,可能包含数学符号、记号、方程,但不附带文字.它比严谨的数学证明更为优雅与有条理.事实上,无字证明并非新概念,它拥有丰厚的历史,可追溯到古希腊与古代中国时期,如图11就是我国汉时东吴数学家赵爽利用几何图形的截、割、拼、补方法创制的一副"无字证明"图形,后人称它为"勾股弦图".其中四个直角三角形较长的直角边长都为aa,较短的直角边长都为bb,斜边长都为cc,大正方形的面积可以表示为c2c^{2},也可以表示为4×12ab+(a−b)24×\frac{1}{2}ab+{(a-b)}^{2},由此推导出一个代数式之间的恒等关系,也是一个很重要的定理.
任务一:我会表达
赵爽"无字证明"的方法中体现了______的数学思想.由此图可以推导出你学过的______定理,该定理的内容是______；
任务二:我会探索
课后,同学们积极探索其它的无字证明方法.某同学提出了一种证明方法:如图22,点BB是正方形ACDEACDE中CDCD边上一点,连接ABAB,得到Rt△ACBRt\triangle ACB,三边分别为aa,bb,cc,将△ACB\triangle ACB裁剪拼接至△AEF\triangle AEF位置,如图33所示,该同学结合图22、图33图形的面积不变验证了此定理.请你写出该方法验证的过程.
任务三:我会应用
如图所示,在学校的墙上有一个监控摄像头,装在离地面4.5m4.5m的墙上,任何东西只要移到离该监控6m6m及6m6m内的位置,该监控就会自动进行记录.若小颖身高1.5m1.5m,则她刚好走到离墙几米的地方监控就会开始自动记录.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

任务一：赵爽“无字证明”的方法中体现了数形结合的数学思想，由此图可以推导出勾股定理，该定理的内容是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
故答案为：数形结合，勾股，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
任务二：证明：连接BFBF，如图，

∵∠CAE=90∘\because \angle CAE=90^{\circ}，
∴∠BAC+∠BAE=90∘\therefore \angle BAC+\angle BAE=90^{\circ}，
∵∠BAC=∠EAF\because \angle BAC=\angle EAF，
∴∠EAF+∠BAE=90∘\therefore \angle EAF+\angle BAE=90^{\circ}，
∴∠BAF=90∘\therefore \angle BAF=90^{\circ}，
∴△BAF\therefore \triangle BAF为等腰直角三角形，
∴S四边形ABDF=S△ABF+S△BFD=12c2+12(b−a)(a+b)=12c2+12(b2−a2)\therefore {S}_{四边形ABDF}={S}_{△ABF}+{S}_{△BFD}=\frac{1}{2}{c}^{2}+\frac{1}{2}(b-a)(a+b)=\frac{1}{2}{c}^{2}+\frac{1}{2}({b}^{2}-{a}^{2})，
∵S正方形ACDE=S四边形ABDF\because S_{正方形ACDE}=S_{四边形ABDF}，
∴b2=12c2+12(b2−a2)\therefore {b}^{2}=\frac{1}{2}{c}^{2}+\frac{1}{2}({b}^{2}-{a}^{2})，
∴b2=12c2+12b2−12a2\therefore {b}^{2}=\frac{1}{2}{c}^{2}+\frac{1}{2}{b}^{2}-\frac{1}{2}{a}^{2}，
∴12a2+12b2=12c2\therefore \frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{1}{2}{b}^{2}=\frac{1}{2}{c}^{2}，
∴a2+b2=c2\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}；
任务三：如图：

∵\because四边形CDBECDBE是长方形，
∴CD=BE=1.5m\therefore CD=BE=1.5m，
∵AB=4.5m\because AB=4.5m，
∴AE=AB−BE=3m\therefore AE=AB-BE=3m，
当AC=6mAC=6m时，摄像头刚好监控到，
在Rt△ACERt\triangle ACE中，∠AEC=90∘\angle AEC=90^{\circ}，
∴CE=AC2−AE2=62−32=32(m)\therefore CE=\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}=3\sqrt{2}(m)，
∴\therefore她走到离墙323\sqrt{2}米的地方监控就会自动记录.

解析

任务一：赵爽“无字证明”的方法中体现了数形结合的数学思想，由此图可以推导出勾股定理，该定理的内容是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
故答案为：数形结合，勾股，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
任务二：证明：连接BFBF，如图，

∵∠CAE=90∘\because \angle CAE=90^{\circ}，
∴∠BAC+∠BAE=90∘\therefore \angle BAC+\angle BAE=90^{\circ}，
∵∠BAC=∠EAF\because \angle BAC=\angle EAF，
∴∠EAF+∠BAE=90∘\therefore \angle EAF+\angle BAE=90^{\circ}，
∴∠BAF=90∘\therefore \angle BAF=90^{\circ}，
∴△BAF\therefore \triangle BAF为等腰直角三角形，
∴S四边形ABDF=S△ABF+S△BFD=12c2+12(b−a)(a+b)=12c2+12(b2−a2)\therefore {S}_{四边形ABDF}={S}_{△ABF}+{S}_{△BFD}=\frac{1}{2}{c}^{2}+\frac{1}{2}(b-a)(a+b)=\frac{1}{2}{c}^{2}+\frac{1}{2}({b}^{2}-{a}^{2})，
∵S正方形ACDE=S四边形ABDF\because S_{正方形ACDE}=S_{四边形ABDF}，
∴b2=12c2+12(b2−a2)\therefore {b}^{2}=\frac{1}{2}{c}^{2}+\frac{1}{2}({b}^{2}-{a}^{2})，
∴b2=12c2+12b2−12a2\therefore {b}^{2}=\frac{1}{2}{c}^{2}+\frac{1}{2}{b}^{2}-\frac{1}{2}{a}^{2}，
∴12a2+12b2=12c2\therefore \frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{1}{2}{b}^{2}=\frac{1}{2}{c}^{2}，
∴a2+b2=c2\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}；
任务三：如图：

∵\because四边形CDBECDBE是长方形，
∴CD=BE=1.5m\therefore CD=BE=1.5m，
∵AB=4.5m\because AB=4.5m，
∴AE=AB−BE=3m\therefore AE=AB-BE=3m，
当AC=6mAC=6m时，摄像头刚好监控到，
在Rt△ACERt\triangle ACE中，∠AEC=90∘\angle AEC=90^{\circ}，
∴CE=AC2−AE2=62−32=32(m)\therefore CE=\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}=3\sqrt{2}(m)，
∴\therefore她走到离墙323\sqrt{2}米的地方监控就会自动记录.

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