定义:一个内角等于另一个内角两倍的三角形,叫做"华益三角形".
$(1)$下列三角形一定是"华益三角形"的有______.
①顶角是$30^{\circ}$的等腰三角形；
②等腰直角三角形；
③有一个角是$30^{\circ}$的直角三角形.
$(2)$如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC\geqslant 90^{\circ}$,沿$\triangle ABC$作边$AB$所在的直线对称图形$\triangle ABD$,延长$DA$到点$E$,使$BC=BE$,求证:$\triangle ABE$是"华益三角形"；
$(3)$如图$2$,$AD$平分$\triangle ABC$的内角$\angle BAC$,交$BC$于点$E$,$CD$平分$\triangle ABC$的外角$\angle BCF$,延长$BA$和$DC$交于点$P$,已知$\angle P=30^{\circ}$,若$\triangle ABE$是"华益三角形",设$\angle BAE=\angle \alpha$,求$\angle \alpha$的度数.