$(1)$若顶角是$30^{\circ}$的等腰三角形，
$\therefore$两个底角分别为$75^{\circ}$，$75^{\circ}$，
$\therefore$顶角是$30^{\circ}$的等腰三角形不是“倍角三角形”，
若等腰直角三角形，
$\therefore$三个角分别为$45^{\circ}$，$45^{\circ}$，$90^{\circ}$，
$\because 90^{\circ}=2\times 45^{\circ}$，
$\therefore$等腰直角三角形是“倍角三角形”，
若有一个是$30^{\circ}$的直角三角形，
$\therefore$另两个角分别为$60^{\circ}$，$90^{\circ}$，
$\because 60^{\circ}=2\times 30^{\circ}$，
$\therefore$有一个$30^{\circ}$的直角三角形是“倍角三角形”，
故答案为：②③；
$(2)$证明：$\because AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB$，
$\because$沿$\triangle ABC$作边$AB$所在的直线对称图形$\triangle ABD$，
$\therefore \angle ABC=\angle ABD$，$\angle ACB=\angle ADB$，$BC=BD$，
$\therefore \angle BAE=2\angle ADB$，
$\because BE=BC$，
$\therefore BD=BE$，
$\therefore \angle E=\angle ADB$，
$\therefore \angle BAE=2\angle E$，
$\therefore \triangle ABE$是“华益三角形”；
$(3)$$\because AD$平分$\triangle ABC$的内角$\angle BAC$，$CD$平分$\triangle ABC$的外角$\angle BCF$，
$\therefore \angle CAD=\frac{1}{2}∠CAB$，$\angle FCD=\frac{1}{2}\angle FCB$，
$\because \angle FCB=\angle B+\angle CAB$，
$\therefore \frac{1}{2}\angle FCB=\frac{1}{2}∠B+\frac{1}{2}∠CAB$，
即$\angle FCD=\frac{1}{2}\angle B+\angle CAD$，
又$\because \angle FCD=\angle D+\angle CAD$，则$\angle D=\frac{1}{2}\angle B$，
$\because \angle \alpha =\angle D+\angle P$，$\angle P=30^{\circ}$，
$\therefore \angle \alpha =\angle D+30^{\circ}$，即$\angle D=\angle \alpha -30^{\circ}$，
$\therefore \angle B=2\angle D=2\angle \alpha -60^{\circ}$，
$\therefore \angle AEB=180-\angle \alpha -2\left(\angle \alpha -30\right)=240^{\circ}-3\angle \alpha$，
①当$\angle BAE=2\angle AEB$或$\angle AEB=2\angle BAE$时，
$\therefore \angle \alpha =2\left(240^{\circ}-3\angle \alpha \right)$或$240^{\circ}-3\angle \alpha =2\angle \alpha$，
解得$\angle \alpha =(\frac{480}{7})^{\circ}$，或$\angle \alpha =48^{\circ}$；
②$\angle B=2\angle EAB$或$\angle EAB=2\angle B$时，
$\therefore 2\angle \alpha -60^{\circ}=2\angle \alpha$或$\angle \alpha =2\left(2\angle \alpha -60^{\circ}\right)$，
解得$\angle \alpha =40^{\circ}$；
③$\angle B=2\angle AEB$或$\angle AEB=2\angle B$时，
$\therefore 2\angle \alpha -60^{\circ}=2\left(240^{\circ}-3\angle \alpha \right)$或$2\left(2\angle \alpha -60^{\circ}\right)=240^{\circ}-3\angle \alpha$，
解答$\alpha =67.5^{\circ}$或$\alpha =(\frac{360}{7})^{\circ}$，
综上所述：（$\frac{480}{7})^{\circ}$或$48^{\circ}$或$40^{\circ}$或$67.5^{\circ}$或（$\frac{360}{7})^{\circ}$.

$(1)$若顶角是$30^{\circ}$的等腰三角形，
$\therefore$两个底角分别为$75^{\circ}$，$75^{\circ}$，
$\therefore$顶角是$30^{\circ}$的等腰三角形不是“倍角三角形”，
若等腰直角三角形，
$\therefore$三个角分别为$45^{\circ}$，$45^{\circ}$，$90^{\circ}$，
$\because 90^{\circ}=2\times 45^{\circ}$，
$\therefore$等腰直角三角形是“倍角三角形”，
若有一个是$30^{\circ}$的直角三角形，
$\therefore$另两个角分别为$60^{\circ}$，$90^{\circ}$，
$\because 60^{\circ}=2\times 30^{\circ}$，
$\therefore$有一个$30^{\circ}$的直角三角形是“倍角三角形”，
故答案为：②③；
$(2)$证明：$\because AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB$，
$\because$沿$\triangle ABC$作边$AB$所在的直线对称图形$\triangle ABD$，
$\therefore \angle ABC=\angle ABD$，$\angle ACB=\angle ADB$，$BC=BD$，
$\therefore \angle BAE=2\angle ADB$，
$\because BE=BC$，
$\therefore BD=BE$，
$\therefore \angle E=\angle ADB$，
$\therefore \angle BAE=2\angle E$，
$\therefore \triangle ABE$是“华益三角形”；
$(3)$$\because AD$平分$\triangle ABC$的内角$\angle BAC$，$CD$平分$\triangle ABC$的外角$\angle BCF$，
$\therefore \angle CAD=\frac{1}{2}∠CAB$，$\angle FCD=\frac{1}{2}\angle FCB$，
$\because \angle FCB=\angle B+\angle CAB$，
$\therefore \frac{1}{2}\angle FCB=\frac{1}{2}∠B+\frac{1}{2}∠CAB$，
即$\angle FCD=\frac{1}{2}\angle B+\angle CAD$，
又$\because \angle FCD=\angle D+\angle CAD$，则$\angle D=\frac{1}{2}\angle B$，
$\because \angle \alpha =\angle D+\angle P$，$\angle P=30^{\circ}$，
$\therefore \angle \alpha =\angle D+30^{\circ}$，即$\angle D=\angle \alpha -30^{\circ}$，
$\therefore \angle B=2\angle D=2\angle \alpha -60^{\circ}$，
$\therefore \angle AEB=180-\angle \alpha -2\left(\angle \alpha -30\right)=240^{\circ}-3\angle \alpha$，
①当$\angle BAE=2\angle AEB$或$\angle AEB=2\angle BAE$时，
$\therefore \angle \alpha =2\left(240^{\circ}-3\angle \alpha \right)$或$240^{\circ}-3\angle \alpha =2\angle \alpha$，
解得$\angle \alpha =(\frac{480}{7})^{\circ}$，或$\angle \alpha =48^{\circ}$；
②$\angle B=2\angle EAB$或$\angle EAB=2\angle B$时，
$\therefore 2\angle \alpha -60^{\circ}=2\angle \alpha$或$\angle \alpha =2\left(2\angle \alpha -60^{\circ}\right)$，
解得$\angle \alpha =40^{\circ}$；
③$\angle B=2\angle AEB$或$\angle AEB=2\angle B$时，
$\therefore 2\angle \alpha -60^{\circ}=2\left(240^{\circ}-3\angle \alpha \right)$或$2\left(2\angle \alpha -60^{\circ}\right)=240^{\circ}-3\angle \alpha$，
解答$\alpha =67.5^{\circ}$或$\alpha =(\frac{360}{7})^{\circ}$，
综上所述：（$\frac{480}{7})^{\circ}$或$48^{\circ}$或$40^{\circ}$或$67.5^{\circ}$或（$\frac{360}{7})^{\circ}$.