由题意，蚂蚁需绕行杯子两周到达点$A$的正上方点$B$处，
则将圆柱侧面沿棱$AB$展开两次得长方形$BAA\’{B\’}$，如图，

则蚂蚁的爬行路径相当于从$A$爬行到${B\’}$，
当走线段$AB\’$时最短，
由圆柱形杯子容器高为$5cm$，底面周长为$6cm$，
得$AB={A\’}{B\’}=5cm$，$AF={A\’}F=6cm$，
则$AA\’=12cm$，
所以$AB′=\sqrt{AA{′}^{2}+A′B{′}^{2}}=\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}=13(cm)$，
故答案为：$13$.

由题意，蚂蚁需绕行杯子两周到达点$A$的正上方点$B$处，
则将圆柱侧面沿棱$AB$展开两次得长方形$BAA\’{B\’}$，如图，

则蚂蚁的爬行路径相当于从$A$爬行到${B\’}$，
当走线段$AB\’$时最短，
由圆柱形杯子容器高为$5cm$，底面周长为$6cm$，
得$AB={A\’}{B\’}=5cm$，$AF={A\’}F=6cm$，
则$AA\’=12cm$，
所以$AB′=\sqrt{AA{′}^{2}+A′B{′}^{2}}=\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}=13(cm)$，
故答案为：$13$.