D

$A$、一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形不一定相似，故$A$选项不符合题意；
$B$、有一个内角为$80^{\circ}$的两个等腰三角形不一定相似，故$B$选项不符合题意；
$C$、两个长方形不一定相似，故$C$选项不符合题意；
$D$、有一个内角为$80^{\circ}$的两个菱形一定相似，故$D$选项符合题意.
故选：$D$.