如图①,现有三张形状大小完全相同的三角形纸片叠合到一起,其中$AB=AC$,$\angle B=\angle C=\alpha$.老师让同学们以"三角形的旋转"为主题,通过小组合作探究,提出问题一展示一集体谈论,解决问题.
$(1)$"希望"小组提出问题:
将图$1$中的$\triangle ABC$以点$C$为旋转中心,顺时针旋转角度$\alpha$,得到$\triangle DEC$,再将$\triangle ABC$以点$A$为旋转中心,逆时针旋转角度$\alpha$,得到$\triangle AFG$,连接$DG$,得到图②,请判断四边形$AEDG$的形状,并说明理由；
$(2)$"善学"小组提出问题:
将图①中的$\triangle ABC$以点$C$为旋转中心,顺时针旋转$90^{\circ}$,得到$\triangle DEC$,再将$\triangle ABC$以点$A$为旋转中心,逆时针旋转$90^{\circ}$,得到$\triangle AFG$,连接$AE$,$DF$,$DG$,得到图③请判断四边形$ACDG$的形状,并说明理由；
老师根据上面小组的探究提出:
$(3)$若$\alpha =75^{\circ}$,则图③中,$\angle EDF=\_\_\_\_\_\_.$