【自主探究】
$(1)$用不同的方法计算图$1$中阴影部分的面积,得到等式:______；
$(2)$图$2$是由两个边长分别为$a$、$b$、$c$的直角三角形和一个两条直角边都是$c$的直角三角形拼成,试用不同的方法计算这个图形的面积,你能发现什么?说明理由；
【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论,解决以下问题:
$(3)$如图$3$,五边形$ABCDE$中,$AC\bot BD$,垂足为$N$,$AC=BD=2$,$CN=a$,$BN=b$,$\triangle BCN$周长为$2$,四边形$AEDN$为长方形,求四边形$AEDN$的面积.