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八年级数学填空题一般
题目
【自主探究】
(1)(1)用不同的方法计算图11中阴影部分的面积,得到等式:______；
(2)(2)图22是由两个边长分别为aa、bb、cc的直角三角形和一个两条直角边都是cc的直角三角形拼成,试用不同的方法计算这个图形的面积,你能发现什么?说明理由；
【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论,解决以下问题:
(3)(3)如图33,五边形ABCDEABCDE中,AC⊥BDAC\bot BD,垂足为NN,AC=BD=2AC=BD=2,CN=aCN=a,BN=bBN=b,△BCN\triangle BCN周长为22,四边形AEDNAEDN为长方形,求四边形AEDNAEDN的面积.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)a2+b2=(a+b)2−2ab\left(1\right)a^{2}+b^{2}=\left(a+b\right)^{2}-2ab，
故答案为：a2+b2=(a+b)2−2aba^{2}+b^{2}=\left(a+b\right)^{2}-2ab；
(2)(2)发现：a2+b2=c2a^{2}+b^{2}=c^{2}，
理由：∵\because图22中图形的面积=2×12×ab+12×c2=12×(a+b)(a+b)=2\times \frac{1}{2}\times ab+\frac{1}{2}×c^{2}=\frac{1}{2}×(a+b)\left(a+b\right)，
∴ab+12×c2=12×(a+b)2\therefore ab+\frac{1}{2}×c^{2}=\frac{1}{2}×(a+b)^{2}，
∴2ab+c2=(a+b)2\therefore 2ab+c^{2}=\left(a+b\right)^{2}，
∴a2+b2=c2\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}；
(3)∵CN=a(3)\because CN=a，BN=bBN=b，△BCN\triangle BCN周长为22，
∴BC=2−CN−BN=2−a−b\therefore BC=2-CN-BN=2-a-b，
∵\because在Rt△BNCRt\triangle BNC中，BC2=CN2+BN2BC^{2}=CN^{2}+BN^{2}，
∴(2−a−b)2=a2+b2\therefore \left(2-a-b\right)^{2}=a^{2}+b^{2}，
∴4+a2+b2+2ab−4a−4b=a2+b2\therefore 4+a^{2}+b^{2}+2ab-4a-4b=a^{2}+b^{2}，
∴4+2ab−4a−4b=0\therefore 4+2ab-4a-4b=0，
∴ab−2(a+b)=−2\therefore ab-2\left(a+b\right)=-2，
∵AC=BD=2\because AC=BD=2，CN=aCN=a，BN=bBN=b，
∴AN=AC−CN=2−a\therefore AN=AC-CN=2-a，DN=BD−BN=2−bDN=BD-BN=2-b，
∴\therefore长方形AEDNAEDN的面积为：AN⋅DN=(2−a)(2−b)=4+ab−2(a+b)=4−2=2AN\cdot DN=\left(2-a\right)\left(2-b\right)=4+ab-2\left(a+b\right)=4-2=2.

解析

(1)a2+b2=(a+b)2−2ab\left(1\right)a^{2}+b^{2}=\left(a+b\right)^{2}-2ab，
故答案为：a2+b2=(a+b)2−2aba^{2}+b^{2}=\left(a+b\right)^{2}-2ab；
(2)(2)发现：a2+b2=c2a^{2}+b^{2}=c^{2}，
理由：∵\because图22中图形的面积=2×12×ab+12×c2=12×(a+b)(a+b)=2\times \frac{1}{2}\times ab+\frac{1}{2}×c^{2}=\frac{1}{2}×(a+b)\left(a+b\right)，
∴ab+12×c2=12×(a+b)2\therefore ab+\frac{1}{2}×c^{2}=\frac{1}{2}×(a+b)^{2}，
∴2ab+c2=(a+b)2\therefore 2ab+c^{2}=\left(a+b\right)^{2}，
∴a2+b2=c2\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}；
(3)∵CN=a(3)\because CN=a，BN=bBN=b，△BCN\triangle BCN周长为22，
∴BC=2−CN−BN=2−a−b\therefore BC=2-CN-BN=2-a-b，
∵\because在Rt△BNCRt\triangle BNC中，BC2=CN2+BN2BC^{2}=CN^{2}+BN^{2}，
∴(2−a−b)2=a2+b2\therefore \left(2-a-b\right)^{2}=a^{2}+b^{2}，
∴4+a2+b2+2ab−4a−4b=a2+b2\therefore 4+a^{2}+b^{2}+2ab-4a-4b=a^{2}+b^{2}，
∴4+2ab−4a−4b=0\therefore 4+2ab-4a-4b=0，
∴ab−2(a+b)=−2\therefore ab-2\left(a+b\right)=-2，
∵AC=BD=2\because AC=BD=2，CN=aCN=a，BN=bBN=b，
∴AN=AC−CN=2−a\therefore AN=AC-CN=2-a，DN=BD−BN=2−bDN=BD-BN=2-b，
∴\therefore长方形AEDNAEDN的面积为：AN⋅DN=(2−a)(2−b)=4+ab−2(a+b)=4−2=2AN\cdot DN=\left(2-a\right)\left(2-b\right)=4+ab-2\left(a+b\right)=4-2=2.

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