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八年级数学填空题一般
题目
[[问题情境]]
(1)(1)课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图11,EE是BCBC的中点,∠BAE=∠CDE\angle BAE=\angle CDE,DD,AA,EE三点共线.求证:AB=CDAB=CD.
小玉在组内经过合作交流,得到解决方法:延长AEAE至点FF,使得AE=EFAE=EF,连结CFCF.请根据小玉的方法思考:由已知和作图能得到△ABE\triangle ABE≌△FCE\triangle FCE,依据是______.
由全等三角形、等腰三角形的性质可得AB=CDAB=CD.
初步运用
(2)(2)如图22,在△BGC\triangle BGC中,GFGF平分∠BGC\angle BGC,EE为BCBC的中点,过点EE作EDED∥GFGF,分别交CGCG的延长线和BGBG于点DD,点AA.求证:AB=CDAB=CD.
拓展运用
(3)(3)如图33,在（1）的基础上（即EE是BCBC的中点,∠BAE=∠CDE\angle BAE=\angle CDE,DD,AA,EE三点共线）,连结ACAC,若∠CAE=2∠BAE\angle CAE=2\angle BAE,当AD=12AD=12,BC=20BC=20时,求AEAE的长.
知识点：三角形、三角形的三边关系、勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)证明：如图11，延长AEAE至点FF，使得AE=EFAE=EF，连结CFCF，
∵\because点EE是BCBC的中点，
∴BE=CE\therefore BE=CE，
在△ABE\triangle ABE和△FCE\triangle FCE中，
{AE=EF∠AEB=∠FECBE=CE\left\{\begin{array}{l}{AE=EF}\\{∠AEB=∠FEC}\\{BE=CE}\end{array}\right.，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△FCE(SAS)\triangle FCE\left(SAS\right)，
∴AB=CF\therefore AB=CF，∠BAE=∠F\angle BAE=\angle F，
∵∠BAE=∠CDE\because \angle BAE=\angle CDE，
∴∠CDE=∠F\therefore \angle CDE=\angle F，
∴DC=CF\therefore DC=CF，
∴AB=CD\therefore AB=CD；
故答案为：SASSAS；
(2)(2)证明：如图22，延长AEAE至HH，使EH=AEEH=AE，连接CHCH，

同理可得：△ABE\triangle ABE≌△HCE(SAS)\triangle HCE\left(SAS\right)，
∴AB=CH\therefore AB=CH，∠BAE=∠H\angle BAE=\angle H，
∵DE\because DE∥FGFG，
∴∠CGF=∠D\therefore \angle CGF=\angle D，∠DAG=∠AGF\angle DAG=\angle AGF，
∵FG\because FG平分∠BGC\angle BGC，
∴∠BGF=∠CGF\therefore \angle BGF=\angle CGF，
∴∠D=∠DAG\therefore \angle D=\angle DAG，
∵∠BAE=∠DAG\because \angle BAE=\angle DAG，
∴∠H=∠D\therefore \angle H=\angle D，
∴CD=CH\therefore CD=CH，
∴AB=CD\therefore AB=CD；
(3)(3)如图33，延长AEAE至点FF，使得AE=EFAE=EF，连结CFCF，过点CC作CG⊥AECG\bot AE于GG，

设AG=aAG=a，
同理可得：△ABE\triangle ABE≌△FCE(SAS)\triangle FCE\left(SAS\right)，
∴AB=CF\therefore AB=CF，∠BAE=∠F\angle BAE=\angle F，
∵∠BAE=∠CDE\because \angle BAE=\angle CDE，
∴∠CDE=∠F\therefore \angle CDE=\angle F，
∴DC=CF\therefore DC=CF，
∵CG⊥AE\because CG\bot AE，AD=12AD=12，
∴DG=FG=12+a\therefore DG=FG=12+a，
∴DF=12+a+12+a=24+2a\therefore DF=12+a+12+a=24+2a，
∴AE=EF=24+2a−122=6+a\therefore AE=EF=\frac{24+2a-12}{2}=6+a，
∴EG=6\therefore EG=6，
∵BC=20\because BC=20，EE是BCBC的中点，
∴BE=CE=10\therefore BE=CE=10，
由勾股定理得：CG=102−62=8CG=\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}=8，
∵∠CAE=2∠BAE\because \angle CAE=2\angle BAE，∠CAE=∠D+∠ACD\angle CAE=\angle D+\angle ACD，
∴∠D+∠ACD=2∠F=2∠D\therefore \angle D+\angle ACD=2\angle F=2\angle D，
∴∠D=∠ACD\therefore \angle D=\angle ACD，
∴AC=AD=12\therefore AC=AD=12，
由勾股定理得：AG=AC2−CG2=122−82=144−64=45AG=\sqrt{A{C}^{2}-C{G}^{2}}=\sqrt{1{2}^{2}-{8}^{2}}=\sqrt{144-64}=4\sqrt{5}，
∴AE=EG+AG=6+45\therefore AE=EG+AG=6+4\sqrt{5}.

解析

(1)(1)证明：如图11，延长AEAE至点FF，使得AE=EFAE=EF，连结CFCF，
∵\because点EE是BCBC的中点，
∴BE=CE\therefore BE=CE，
在△ABE\triangle ABE和△FCE\triangle FCE中，
{AE=EF∠AEB=∠FECBE=CE\left\{\begin{array}{l}{AE=EF}\\{∠AEB=∠FEC}\\{BE=CE}\end{array}\right.，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△FCE(SAS)\triangle FCE\left(SAS\right)，
∴AB=CF\therefore AB=CF，∠BAE=∠F\angle BAE=\angle F，
∵∠BAE=∠CDE\because \angle BAE=\angle CDE，
∴∠CDE=∠F\therefore \angle CDE=\angle F，
∴DC=CF\therefore DC=CF，
∴AB=CD\therefore AB=CD；
故答案为：SASSAS；
(2)(2)证明：如图22，延长AEAE至HH，使EH=AEEH=AE，连接CHCH，

同理可得：△ABE\triangle ABE≌△HCE(SAS)\triangle HCE\left(SAS\right)，
∴AB=CH\therefore AB=CH，∠BAE=∠H\angle BAE=\angle H，
∵DE\because DE∥FGFG，
∴∠CGF=∠D\therefore \angle CGF=\angle D，∠DAG=∠AGF\angle DAG=\angle AGF，
∵FG\because FG平分∠BGC\angle BGC，
∴∠BGF=∠CGF\therefore \angle BGF=\angle CGF，
∴∠D=∠DAG\therefore \angle D=\angle DAG，
∵∠BAE=∠DAG\because \angle BAE=\angle DAG，
∴∠H=∠D\therefore \angle H=\angle D，
∴CD=CH\therefore CD=CH，
∴AB=CD\therefore AB=CD；
(3)(3)如图33，延长AEAE至点FF，使得AE=EFAE=EF，连结CFCF，过点CC作CG⊥AECG\bot AE于GG，

设AG=aAG=a，
同理可得：△ABE\triangle ABE≌△FCE(SAS)\triangle FCE\left(SAS\right)，
∴AB=CF\therefore AB=CF，∠BAE=∠F\angle BAE=\angle F，
∵∠BAE=∠CDE\because \angle BAE=\angle CDE，
∴∠CDE=∠F\therefore \angle CDE=\angle F，
∴DC=CF\therefore DC=CF，
∵CG⊥AE\because CG\bot AE，AD=12AD=12，
∴DG=FG=12+a\therefore DG=FG=12+a，
∴DF=12+a+12+a=24+2a\therefore DF=12+a+12+a=24+2a，
∴AE=EF=24+2a−122=6+a\therefore AE=EF=\frac{24+2a-12}{2}=6+a，
∴EG=6\therefore EG=6，
∵BC=20\because BC=20，EE是BCBC的中点，
∴BE=CE=10\therefore BE=CE=10，
由勾股定理得：CG=102−62=8CG=\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}=8，
∵∠CAE=2∠BAE\because \angle CAE=2\angle BAE，∠CAE=∠D+∠ACD\angle CAE=\angle D+\angle ACD，
∴∠D+∠ACD=2∠F=2∠D\therefore \angle D+\angle ACD=2\angle F=2\angle D，
∴∠D=∠ACD\therefore \angle D=\angle ACD，
∴AC=AD=12\therefore AC=AD=12，
由勾股定理得：AG=AC2−CG2=122−82=144−64=45AG=\sqrt{A{C}^{2}-C{G}^{2}}=\sqrt{1{2}^{2}-{8}^{2}}=\sqrt{144-64}=4\sqrt{5}，
∴AE=EG+AG=6+45\therefore AE=EG+AG=6+4\sqrt{5}.

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