（1）当$-5\leqslant x\leqslant 2$时，$|x+5|+|x-2|=7$，

故答案为：$-5$、$-4$、$-3$、$-2$、$-1$、$0$、$1$、$2$；

$(2)|x-3|+|x-6|$的最小值为：$6-3=3$，

故答案为：$3$；

$(3)$当$x$为整数时，$|x-1|+|x-2|+|x-3|$的最小值为：$3-1=2$，

故答案为：$2$；

$(4)1997-1+\left(1996-2\right)+\left(1995-3\right)+\ldots \ldots +\left(1000-998\right)$

$=1996+1994+1992+\ldots \ldots +2$

$=\frac{1}{2}\color{red}{×}998\times \left(1996+2\right)$

$=997002$.

（1）当$-5\leqslant x\leqslant 2$时，$|x+5|+|x-2|=7$，

故答案为：$-5$、$-4$、$-3$、$-2$、$-1$、$0$、$1$、$2$；

$(2)|x-3|+|x-6|$的最小值为：$6-3=3$，

故答案为：$3$；

$(3)$当$x$为整数时，$|x-1|+|x-2|+|x-3|$的最小值为：$3-1=2$，

故答案为：$2$；

$(4)1997-1+\left(1996-2\right)+\left(1995-3\right)+\ldots \ldots +\left(1000-998\right)$

$=1996+1994+1992+\ldots \ldots +2$

$=\frac{1}{2}\color{red}{×}998\times \left(1996+2\right)$

$=997002$.