C

$\because$一个非负数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，
$\therefore$选项$A$不符合题意；

$\because a\geqslant 0$，表述的是非负数的绝对值，不是负数的绝对值，
$\therefore$选项$B$不符合题意；

$\because$非负数的绝对值等于它本身，
$\therefore$选项$C$符合题意；

$\because a\geqslant 0$，表述的是非负数的绝对值，不只是$0$的绝对值，
$\therefore$选项$D$不符合题意.
故选：$C$.