D

$\because AB=AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，直角$\angle EPF$的顶点$P$是$BC$的中点，
$\therefore$①$\angle B=\angle C=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-90^{\circ}\right)=45^{\circ}$，$AP\bot BC$，$AP=\frac{1}{2}BC=PC$，$\angle BAP=\angle CAP=45^{\circ}=\angle C$，
$\because \angle APF+\angle FPC=90^{\circ}$，$\angle APF+\angle APE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle FPC=\angle EPA$.
$\therefore \triangle APE$≌$\triangle CPF\left(ASA\right)$，
$\therefore$②$AE=CF$；④$EP=PF$，即$\triangle EPF$是等腰直角三角形；同理可证得$\triangle APF$≌$\triangle BPE$，
$\therefore$⑤四边形$AEPF$的面积是$\triangle ABC$面积的一半，
$\because \triangle ABC$是等腰直角三角形，$P$是$BC$的中点，
$\therefore AP=\frac{1}{2}BC$，
$\because EF$不是$\triangle ABC$的中位线，
$\therefore EF\neq AP$，故③错误；
④$\because \angle AGF=\angle EGP=180^{\circ}-\angle APE-\angle PEF=180^{\circ}-\angle APE-45^{\circ}$，
$\angle AEP=180^{\circ}-\angle APE-\angle EAP=180^{\circ}-\angle APE-45^{\circ}$，
$\therefore \angle AEP=\angle AGF$.
故正确的有①、②、④、⑤，共四个.
故选：$D$.