$(1)$如图$1$，过点$D$作$DH\bot BC$，交$BA$的延长线于点$H$，

$\because \triangle ABC$为等腰三角形，$AB=AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，

$\therefore \angle ABC=45^{\circ}$，

$\because \angle BDH=90^{\circ}$，

$\therefore \triangle BDH$是等腰直角三角形，

$\therefore BD=HD$，$\angle H=45^{\circ}$，

由旋转得$DE=DA$，$\angle ADB+\angle BDE=90^{\circ}$，

$\because \angle ADB+\angle ADH=90^{\circ}$，

$\therefore \angle BDE=\angle HDA$，

在$\triangle DBE$和$\triangle DHA$中，

$\left\{\begin{array}{l}{DH=DB}\\{\angle HDA=\angle BDE}\\{DA=DE}\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle DBE$≌$\triangle DHA\left(SAS\right)$，

$\therefore S_{\triangle DBE}=S_{\triangle DHA}$，

$\therefore S_{四边形ABED}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle DBE}$

$=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle DHA}$

$=S_{\triangle BDH}$

$=\frac{1}{2}\times BD\times DH$

$=\frac{1}{2}\times 4\times 4$

$=8$；

$(2)$证明：如图$2$，延长$BA$至$L$，使$AL=AB$，连接$FL$，

$\because AB=AC$，

$\therefore AL=AC$，

$\because \angle BAC=90^{\circ}$，

$\therefore \angle CAL=90^{\circ}$，$\angle ABC=\angle ACB=45^{\circ}$，

$\therefore \angle CAF+\angle FAL=90^{\circ}$，

由旋转得：$AF=AD$，$\angle DAF=90^{\circ}$，

$\therefore \angle CAD+\angle CAF=90^{\circ}$，

$\therefore \angle FAL=\angle DAC$，

在$\triangle AFL$和$\triangle ADC$中，

$\left\{\begin{array}{l}{AL=AC}\\{\angle FAL=\angle DAC}\\{AF=AD}\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle AFL$≌$\triangle ADC\left(SAS\right)$，

$\therefore \angle ALF=\angle ACD=45^{\circ}$，

$\because$点$A$、$G$分别是$BL$、$BF$的中点，

$\therefore AG$∥$FL$，

$\therefore \angle BAG=\angle ALF=45^{\circ}$，

$\therefore \angle CAG=\angle BAC-\angle BAG=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，

$\therefore \angle BAG=\angle CAG$，

$\therefore AG$平分$\angle BAC$；

$(3)$如图$3$，过点$B$作$BT$∥$AD$，使$BT=AB$，连接$TN$，$DT$，

则$\angle TBN=\angle BAM$，

在$\triangle BTN$和$\triangle ABM$中，

$\left\{\begin{array}{l}{BT=AB}\\{\angle TBN=\angle BAM}\\{BN=AM}\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle BTN$≌$\triangle ABM\left(SAS\right)$，

$\therefore TN=BM$，

$\therefore BM+DN=TN+DN\geqslant DT$，

当$D$，$N$，$T$三点共线时，$BM+DN=DT$为最小值，

如图$4$，点$P$是线段$ND$上的一个动点，作点$A$关于直线$DN$的对称点${A\’}$，连接$CA\’$交线段$DN$于点$P$，

则$PA=PA\’$，

$\therefore AP+PC=PA\’+PC={A\’}C$为最小值，

$\because \angle BAC=100^{\circ}$，$AB=AC$，

$\therefore \angle ABC=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-\angle BAC\right)=40^{\circ}$，

$\because AB=BD$，

$\therefore \angle BAD=\angle BDA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC)=70^{\circ}$，

$\because \angle ABT=\angle BAD=70^{\circ}$，

$\therefore \angle DBT=110^{\circ}$，

$\because BT=AB=BD$，

$\therefore \angle BDT=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle DBT)=35^{\circ}$，

$\therefore \angle ADT=\angle BDA-\angle BDT=70^{\circ}-35^{\circ}=35^{\circ}$，

$\therefore \angle ADT=\angle BDT$，

$\therefore$点${A\’}$在$BC$上，点$P$与点$D$重合，

$\therefore \angle BPN=\angle BDN=35^{\circ}$.

$(1)$如图$1$，过点$D$作$DH\bot BC$，交$BA$的延长线于点$H$，

$\because \triangle ABC$为等腰三角形，$AB=AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，

$\therefore \angle ABC=45^{\circ}$，

$\because \angle BDH=90^{\circ}$，

$\therefore \triangle BDH$是等腰直角三角形，

$\therefore BD=HD$，$\angle H=45^{\circ}$，

由旋转得$DE=DA$，$\angle ADB+\angle BDE=90^{\circ}$，

$\because \angle ADB+\angle ADH=90^{\circ}$，

$\therefore \angle BDE=\angle HDA$，

在$\triangle DBE$和$\triangle DHA$中，

$\left\{\begin{array}{l}{DH=DB}\\{\angle HDA=\angle BDE}\\{DA=DE}\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle DBE$≌$\triangle DHA\left(SAS\right)$，

$\therefore S_{\triangle DBE}=S_{\triangle DHA}$，

$\therefore S_{四边形ABED}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle DBE}$

$=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle DHA}$

$=S_{\triangle BDH}$

$=\frac{1}{2}\times BD\times DH$

$=\frac{1}{2}\times 4\times 4$

$=8$；

$(2)$证明：如图$2$，延长$BA$至$L$，使$AL=AB$，连接$FL$，

$\because AB=AC$，

$\therefore AL=AC$，

$\because \angle BAC=90^{\circ}$，

$\therefore \angle CAL=90^{\circ}$，$\angle ABC=\angle ACB=45^{\circ}$，

$\therefore \angle CAF+\angle FAL=90^{\circ}$，

由旋转得：$AF=AD$，$\angle DAF=90^{\circ}$，

$\therefore \angle CAD+\angle CAF=90^{\circ}$，

$\therefore \angle FAL=\angle DAC$，

在$\triangle AFL$和$\triangle ADC$中，

$\left\{\begin{array}{l}{AL=AC}\\{\angle FAL=\angle DAC}\\{AF=AD}\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle AFL$≌$\triangle ADC\left(SAS\right)$，

$\therefore \angle ALF=\angle ACD=45^{\circ}$，

$\because$点$A$、$G$分别是$BL$、$BF$的中点，

$\therefore AG$∥$FL$，

$\therefore \angle BAG=\angle ALF=45^{\circ}$，

$\therefore \angle CAG=\angle BAC-\angle BAG=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，

$\therefore \angle BAG=\angle CAG$，

$\therefore AG$平分$\angle BAC$；

$(3)$如图$3$，过点$B$作$BT$∥$AD$，使$BT=AB$，连接$TN$，$DT$，

则$\angle TBN=\angle BAM$，

在$\triangle BTN$和$\triangle ABM$中，

$\left\{\begin{array}{l}{BT=AB}\\{\angle TBN=\angle BAM}\\{BN=AM}\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle BTN$≌$\triangle ABM\left(SAS\right)$，

$\therefore TN=BM$，

$\therefore BM+DN=TN+DN\geqslant DT$，

当$D$，$N$，$T$三点共线时，$BM+DN=DT$为最小值，

如图$4$，点$P$是线段$ND$上的一个动点，作点$A$关于直线$DN$的对称点${A\’}$，连接$CA\’$交线段$DN$于点$P$，

则$PA=PA\’$，

$\therefore AP+PC=PA\’+PC={A\’}C$为最小值，

$\because \angle BAC=100^{\circ}$，$AB=AC$，

$\therefore \angle ABC=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-\angle BAC\right)=40^{\circ}$，

$\because AB=BD$，

$\therefore \angle BAD=\angle BDA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC)=70^{\circ}$，

$\because \angle ABT=\angle BAD=70^{\circ}$，

$\therefore \angle DBT=110^{\circ}$，

$\because BT=AB=BD$，

$\therefore \angle BDT=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle DBT)=35^{\circ}$，

$\therefore \angle ADT=\angle BDA-\angle BDT=70^{\circ}-35^{\circ}=35^{\circ}$，

$\therefore \angle ADT=\angle BDT$，

$\therefore$点${A\’}$在$BC$上，点$P$与点$D$重合，

$\therefore \angle BPN=\angle BDN=35^{\circ}$.