如图,$\triangle ABC$为等腰三角形,$AB=AC$,$D$为$BC$边上一点,连接$AD$.
$(1)$如图$1$,若$\angle BAC=90^{\circ}$,将$AD$绕点$D$逆时针旋转$90^{\circ}$得到线段$DE$,连接$BE$,若$AB\bot BE$,$BD=4$,求四边形$ABED$的面积；
$(2)$如图$2$,若$\angle BAC=90^{\circ}$,将$AD$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$得到线段$AF$,连接$BF$,若$G$为$BF$中点,连接$AG$,求证:$AG$平分$\angle BAC$；
$(3)$如图$3$,若$\angle BAC=100^{\circ}$,$BA=BD$,点$M$、$N$分别在线段$AD$、$AB$上,且$AM=BN$,连接$BM$、$DN$,当$BM+DN$取最小值时,点$P$是线段$ND$上的一个动点,连接$PA$、$PB$、$PC$,请直接写出$AP+PC$取得最小值时,$\angle BPN$的度数.