A

由数轴知$a \lt -1$，$0 \lt b \lt 1$，
$\therefore |a| \gt |b|$，
$a-b \lt 0$，故选项$A$符合题意；
$b-a \gt 0$，故选项$B$不合题意；
$a+b \lt 0$，故选项$C$不合题意；
$|a|-b \gt 0$，故选项$D$不合题意；
故选：$A$.