题目
（等腰三角形点的存在性问题）（临沂市中考题）如图，点A在x轴上，OA4，将线
段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置；
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形使等
腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
y
l
Ox
M
A
P
N
（第3题）
二次函数与直角三角形
知识点：二次函数章节：二次函数
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九年级下数学solutionmedium
答案与解析
答案
(1)B(2，23).
解析
【答案】(1)B(2，23).
3223
(2)yxx.
63
(3)存在.
如图，抛物线的对称轴是x2，
直线xx2与轴的交点为D，设点Py的坐标为(2，).
222
①若OBOP，则2|y|4，解得y23.
当y23时，在Rt△POD中，PDO90，
PD233
sinPOD，∴POD60，
OP42
∴POBPODAOB60120180，
即P，O，B三点在同一条直线上，
∴y23不符合题意，舍去.
∴点P的坐标为(2，23).
222
②若OBPB，则4|y23|4，解得y23.
∴点P的坐标是(2，23).
2222
③若OPBP，则2|y|4|y23|.
解得y23，∴点P的坐标是(2，23).
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为(2，23).
26 / 46
越付出越富有，春卷们加油！
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Ox
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二次函数与直角三角形
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(2)yxx.
63
(3)存在.
如图，抛物线的对称轴是x2，
直线xx2与轴的交点为D，设点Py的坐标为(2，).
222
①若OBOP，则2|y|4，解得y23.
当y23时，在Rt△POD中，PDO90，
PD233
sinPOD，∴POD60，
OP42
∴POBPODAOB60120180，
即P，O，B三点在同一条直线上，
∴y23不符合题意，舍去.
∴点P的坐标为(2，23).
222
②若OBPB，则4|y23|4，解得y23.
∴点P的坐标是(2，23).
2222
③若OPBP，则2|y|4|y23|.
解得y23，∴点P的坐标是(2，23).
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为(2，23).
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（第3题）
二次函数与直角三角形
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