（1）在平面直角坐标系中，点$A$在第一象限的角平分线上，过$A$作$AB\bot x$轴于点$B$，$AB=m$，
$\therefore \angle AOB=45^{\circ}$，$\angle ABO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AOB=\angle OAB=45^{\circ}$，
$\therefore OB=AB=m$，
$\therefore$点$B$的坐标$\left(m,0\right)$；
$(2)$点$C$在点$B$右侧$x$轴上，点$D$在$OA$上，且$CD=CA$，若$BC=n$，$\triangle ODC$的面积为$S$，如图$2$，过$D$作$DM\bot x$轴于点$M$，

$\therefore \angle DMC=\angle CBA=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DOM=\angle ODM=45^{\circ}$，
$\therefore OM=DM$，
由（1）得$\angle AOB=\angle OAB=45^{\circ}$，
设$\angle CAB=x$，则$\angle DAC=45^{\circ}+x$，$\angle ACB=90^{\circ}-x$，
$\therefore \angle ADC=\angle DAC=45^{\circ}+x$，
$\therefore \angle CDM=180^{\circ}-\angle ODM-\angle ADC=180^{\circ}-45^{\circ}-\left(45^{\circ}+x\right)=90^{\circ}-x$，
$\therefore \angle CDM=\angle ACB$，
在$\triangle CDM$和$\triangle ACB$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DMC=∠CBA=90°\\∠CDM=∠ACB\\ CD=AC\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle CDM$≌$\triangle ACB\left(AAS\right)$，
$\therefore DM=BC=n$，$CM=AB=m$，
$\therefore OM=DM=n$，
$\therefore OC=OM+CM=m+n$，
$\therefore \triangle ODC$的面积为$S=\frac{1}{2}OC×DM=\frac{1}{2}(m+n)×n=\frac{1}{2}mn+\frac{1}{2}{n}^{2}$；
$(3)$将射线$CO$沿$CD$翻折，交$y$轴于点$E$，交$AB$于点$G$，如图$3$，过$D$作$DF\bot x$轴于点$F$，过$D$作$DN\bot y$轴于点$N$，过$D$作$DH\bot CE$于点$H$，

$\because$点$A$在第一象限的角平分线上，$CD$平分$\angle OCE$，
$\therefore DN=DF$，$DF=DH$，
$\therefore DN=DF=DH$，
$\therefore Rt\triangle DNO$≌$Rt\triangle DFO\left(HL\right),Rt\triangle DFC$≌$Rt\triangle DHC\left(HL\right),Rt\triangle DNE$≌$Rt\triangle DHE\left(HL\right)$，
$\therefore ON=OF$，$EN=EH$，$CH=CF$，
同（2）理得：$\triangle DFC$≌$\triangle CBA\left(AAS\right)$，
$\therefore CF=AB=CH=m$，$ON=OF=BC=n$，
设$EN=EH=x$，
$\because \triangle OCE$的周长为$12$，
$\therefore 2x+2m+2n=12$，
整理得：$x+m+n=6$，即$x+n=6-m$，
$\because \triangle OEG$的面积为$\frac{9}{2}$，
$\therefore \frac{1}{2}m(x+n)=\frac{9}{2}$，
整理得：$m\left(x+n\right)=9$，
$\therefore m\left(6-m\right)=9$，
整理得：$m^{2}-6m+9=0$，
解得：$m=3$，
$\therefore OE=x+n=6-m=3$.

（1）在平面直角坐标系中，点$A$在第一象限的角平分线上，过$A$作$AB\bot x$轴于点$B$，$AB=m$，
$\therefore \angle AOB=45^{\circ}$，$\angle ABO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AOB=\angle OAB=45^{\circ}$，
$\therefore OB=AB=m$，
$\therefore$点$B$的坐标$\left(m,0\right)$；
$(2)$点$C$在点$B$右侧$x$轴上，点$D$在$OA$上，且$CD=CA$，若$BC=n$，$\triangle ODC$的面积为$S$，如图$2$，过$D$作$DM\bot x$轴于点$M$，

$\therefore \angle DMC=\angle CBA=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DOM=\angle ODM=45^{\circ}$，
$\therefore OM=DM$，
由（1）得$\angle AOB=\angle OAB=45^{\circ}$，
设$\angle CAB=x$，则$\angle DAC=45^{\circ}+x$，$\angle ACB=90^{\circ}-x$，
$\therefore \angle ADC=\angle DAC=45^{\circ}+x$，
$\therefore \angle CDM=180^{\circ}-\angle ODM-\angle ADC=180^{\circ}-45^{\circ}-\left(45^{\circ}+x\right)=90^{\circ}-x$，
$\therefore \angle CDM=\angle ACB$，
在$\triangle CDM$和$\triangle ACB$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DMC=∠CBA=90°\\∠CDM=∠ACB\\ CD=AC\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle CDM$≌$\triangle ACB\left(AAS\right)$，
$\therefore DM=BC=n$，$CM=AB=m$，
$\therefore OM=DM=n$，
$\therefore OC=OM+CM=m+n$，
$\therefore \triangle ODC$的面积为$S=\frac{1}{2}OC×DM=\frac{1}{2}(m+n)×n=\frac{1}{2}mn+\frac{1}{2}{n}^{2}$；
$(3)$将射线$CO$沿$CD$翻折，交$y$轴于点$E$，交$AB$于点$G$，如图$3$，过$D$作$DF\bot x$轴于点$F$，过$D$作$DN\bot y$轴于点$N$，过$D$作$DH\bot CE$于点$H$，

$\because$点$A$在第一象限的角平分线上，$CD$平分$\angle OCE$，
$\therefore DN=DF$，$DF=DH$，
$\therefore DN=DF=DH$，
$\therefore Rt\triangle DNO$≌$Rt\triangle DFO\left(HL\right),Rt\triangle DFC$≌$Rt\triangle DHC\left(HL\right),Rt\triangle DNE$≌$Rt\triangle DHE\left(HL\right)$，
$\therefore ON=OF$，$EN=EH$，$CH=CF$，
同（2）理得：$\triangle DFC$≌$\triangle CBA\left(AAS\right)$，
$\therefore CF=AB=CH=m$，$ON=OF=BC=n$，
设$EN=EH=x$，
$\because \triangle OCE$的周长为$12$，
$\therefore 2x+2m+2n=12$，
整理得：$x+m+n=6$，即$x+n=6-m$，
$\because \triangle OEG$的面积为$\frac{9}{2}$，
$\therefore \frac{1}{2}m(x+n)=\frac{9}{2}$，
整理得：$m\left(x+n\right)=9$，
$\therefore m\left(6-m\right)=9$，
整理得：$m^{2}-6m+9=0$，
解得：$m=3$，
$\therefore OE=x+n=6-m=3$.