在平面直角坐标系中,点$A$在第一象限的角平分线上,过$A$作$AB\bot x$轴于点$B$,$AB=m$.

$(1)$如图$1$,求点$B$的坐标；
$(2)$如图$2$,点$C$在点$B$右侧$x$轴上,点$D$在$OA$上,且$CD=CA$,若$BC=n$,$\triangle ODC$的面积为$S$,求$S$与$m$、$n$之间的关系式；
$(3)$如图$3$,在（2）的条件下,将射线$CO$沿$CD$翻折,交$y$轴于点$E$,交$AB$于点$G$,连接$OG$,$\triangle OCE$的周长为$12$,$\triangle OEG$的面积为$\frac{9}{2}$,求$OE$的长.