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八年级数学解答题一般
题目
已知,如图ADAD为△ABC\triangle ABC的中线,分别以ABAB和ACAC为一边在△ABC\triangle ABC的外部作等腰三角形ABEABE和等腰三角形ACFACF,且AE=ABAE=AB,AF=ACAF=AC,连接EFEF,∠EAF+∠BAC=180∘\angle EAF+\angle BAC=180^{\circ}
(1)(1)如图11,若∠ABE=63∘\angle ABE=63^{\circ},∠BAC=45∘\angle BAC=45^{\circ},求∠FAC\angle FAC的度数；
(2)(2)如图11,请探究线段EFEF和线段ADAD有何数量关系?并证明你的结论；
(3)(3)如图22,设EFEF交ABAB于点GG,交ACAC于点RR,延长FCFC,EBEB交于点MM,若点GG为线段EFEF的中点,且∠BAE=70∘\angle BAE=70^{\circ},请探究∠ACB\angle ACB和∠CAF\angle CAF的数量关系,并证明你的结论.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)∵AE=AB\because AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=63∘\therefore \angle AEB=\angle ABE=63^{\circ}，
∴∠EAB=54∘\therefore \angle EAB=54^{\circ}，
∵∠BAC=45∘\because \angle BAC=45^{\circ}，∠EAF+∠BAC=180∘\angle EAF+\angle BAC=180^{\circ}，
∴∠EAB+2∠BAC+∠FAC=180∘\therefore \angle EAB+2\angle BAC+\angle FAC=180^{\circ}，
∴54∘+2×45∘+∠FAC=180∘\therefore 54^{\circ}+2\times 45^{\circ}+\angle FAC=180^{\circ}，
∴∠FAC=36∘\therefore \angle FAC=36^{\circ}；
(2)EF=2AD(2)EF=2AD；理由如下：
延长ADAD至HH，使DH=ADDH=AD，连接BHBH，如图11所示：
∵AD\because AD为△ABC\triangle ABC的中线，
∴BD=CD\therefore BD=CD，
在△BDH\triangle BDH和△CDA\triangle CDA中，{BD=CD∠BDH=∠CDADH=AD\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDH=∠CDA}\\{DH=AD}\end{array}\right.，
∴△BDH\therefore \triangle BDH≌△CDA(SAS)\triangle CDA\left(SAS\right)，
∴HB=AC=AF\therefore HB=AC=AF，∠BHD=∠CAD\angle BHD=\angle CAD，
∴AC\therefore AC∥BHBH，
∴∠ABH+∠BAC=180∘\therefore \angle ABH+\angle BAC=180^{\circ}，
∵∠EAF+∠BAC=180∘\because \angle EAF+\angle BAC=180^{\circ}，
∴∠EAF=∠ABH\therefore \angle EAF=\angle ABH，
在△ABH\triangle ABH和△EAF\triangle EAF中，{AE=AB∠EAF=∠ABHAF=BH\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAF=∠ABH}\\{AF=BH}\end{array}\right.，
∴△ABH\therefore \triangle ABH≌△EAF(SAS)\triangle EAF\left(SAS\right)，
∴EF=AH=2AD\therefore EF=AH=2AD；
(3)∠ACB−12∠CAF=55°(3)∠ACB-\frac{1}{2}∠CAF=55°；理由如下：
由（2）得，AD=12EFAD=\frac{1}{2}EF，又点GG为EFEF中点，
∴EG=AD\therefore EG=AD，
由(2)△ABH\left(2\right)\triangle ABH≌△EAF\triangle EAF，
∴∠AEG=∠BAD\therefore \angle AEG=\angle BAD，
在△EAG\triangle EAG和△ABD\triangle ABD中，{AE=AB∠AEG=∠BADEG=AD\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠AEG=∠BAD}\\{EG=AD}\end{array}\right.，
∴△EAG\therefore \triangle EAG≌△ABD(SAS)\triangle ABD\left(SAS\right)，
∴∠EAG=∠ABC=70∘\therefore \angle EAG=\angle ABC=70^{\circ}，
∵∠EAF+∠BAC=180∘\because \angle EAF+\angle BAC=180^{\circ}，
∴∠EAB+2∠BAC+∠CAF=180∘\therefore \angle EAB+2\angle BAC+\angle CAF=180^{\circ}，
即：70∘+2∠BAC+∠CAF=180∘70^{\circ}+2\angle BAC+\angle CAF=180^{\circ}，
∴∠BAC+12∠CAF=55∘\therefore \angle BAC+\frac{1}{2}\angle CAF=55^{\circ}，
∴∠BAC=55∘−12∠CAF\therefore \angle BAC=55^{\circ}-\frac{1}{2}\angle CAF，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180∘\because \angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180^{\circ}，
∴∠BAC=180∘−∠ABC−∠ACB=180∘−70∘−∠ACB=110∘−∠ACB\therefore \angle BAC=180^{\circ}-\angle ABC-\angle ACB=180^{\circ}-70^{\circ}-\angle ACB=110^{\circ}-\angle ACB，
∴55∘−12∠CAF=110∘−∠ACB\therefore 55^{\circ}-\frac{1}{2}\angle CAF=110^{\circ}-\angle ACB，
∴∠ACB−12∠CAF=55∘\therefore \angle ACB-\frac{1}{2}\angle CAF=55^{\circ}.

解析

(1)(1)∵AE=AB\because AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=63∘\therefore \angle AEB=\angle ABE=63^{\circ}，
∴∠EAB=54∘\therefore \angle EAB=54^{\circ}，
∵∠BAC=45∘\because \angle BAC=45^{\circ}，∠EAF+∠BAC=180∘\angle EAF+\angle BAC=180^{\circ}，
∴∠EAB+2∠BAC+∠FAC=180∘\therefore \angle EAB+2\angle BAC+\angle FAC=180^{\circ}，
∴54∘+2×45∘+∠FAC=180∘\therefore 54^{\circ}+2\times 45^{\circ}+\angle FAC=180^{\circ}，
∴∠FAC=36∘\therefore \angle FAC=36^{\circ}；
(2)EF=2AD(2)EF=2AD；理由如下：
延长ADAD至HH，使DH=ADDH=AD，连接BHBH，如图11所示：
∵AD\because AD为△ABC\triangle ABC的中线，
∴BD=CD\therefore BD=CD，
在△BDH\triangle BDH和△CDA\triangle CDA中，{BD=CD∠BDH=∠CDADH=AD\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDH=∠CDA}\\{DH=AD}\end{array}\right.，
∴△BDH\therefore \triangle BDH≌△CDA(SAS)\triangle CDA\left(SAS\right)，
∴HB=AC=AF\therefore HB=AC=AF，∠BHD=∠CAD\angle BHD=\angle CAD，
∴AC\therefore AC∥BHBH，
∴∠ABH+∠BAC=180∘\therefore \angle ABH+\angle BAC=180^{\circ}，
∵∠EAF+∠BAC=180∘\because \angle EAF+\angle BAC=180^{\circ}，
∴∠EAF=∠ABH\therefore \angle EAF=\angle ABH，
在△ABH\triangle ABH和△EAF\triangle EAF中，{AE=AB∠EAF=∠ABHAF=BH\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAF=∠ABH}\\{AF=BH}\end{array}\right.，
∴△ABH\therefore \triangle ABH≌△EAF(SAS)\triangle EAF\left(SAS\right)，
∴EF=AH=2AD\therefore EF=AH=2AD；
(3)∠ACB−12∠CAF=55°(3)∠ACB-\frac{1}{2}∠CAF=55°；理由如下：
由（2）得，AD=12EFAD=\frac{1}{2}EF，又点GG为EFEF中点，
∴EG=AD\therefore EG=AD，
由(2)△ABH\left(2\right)\triangle ABH≌△EAF\triangle EAF，
∴∠AEG=∠BAD\therefore \angle AEG=\angle BAD，
在△EAG\triangle EAG和△ABD\triangle ABD中，{AE=AB∠AEG=∠BADEG=AD\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠AEG=∠BAD}\\{EG=AD}\end{array}\right.，
∴△EAG\therefore \triangle EAG≌△ABD(SAS)\triangle ABD\left(SAS\right)，
∴∠EAG=∠ABC=70∘\therefore \angle EAG=\angle ABC=70^{\circ}，
∵∠EAF+∠BAC=180∘\because \angle EAF+\angle BAC=180^{\circ}，
∴∠EAB+2∠BAC+∠CAF=180∘\therefore \angle EAB+2\angle BAC+\angle CAF=180^{\circ}，
即：70∘+2∠BAC+∠CAF=180∘70^{\circ}+2\angle BAC+\angle CAF=180^{\circ}，
∴∠BAC+12∠CAF=55∘\therefore \angle BAC+\frac{1}{2}\angle CAF=55^{\circ}，
∴∠BAC=55∘−12∠CAF\therefore \angle BAC=55^{\circ}-\frac{1}{2}\angle CAF，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180∘\because \angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180^{\circ}，
∴∠BAC=180∘−∠ABC−∠ACB=180∘−70∘−∠ACB=110∘−∠ACB\therefore \angle BAC=180^{\circ}-\angle ABC-\angle ACB=180^{\circ}-70^{\circ}-\angle ACB=110^{\circ}-\angle ACB，
∴55∘−12∠CAF=110∘−∠ACB\therefore 55^{\circ}-\frac{1}{2}\angle CAF=110^{\circ}-\angle ACB，
∴∠ACB−12∠CAF=55∘\therefore \angle ACB-\frac{1}{2}\angle CAF=55^{\circ}.

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