D

如图，设$CH$与$GF$交于点$M$，

$\because$四边形$DEFG$是正方形，
$\therefore GF$∥$DE,\angle GDE=\angle DGF=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle CGF$∽$\triangle CAB$，
$\therefore \frac{GF}{AB}=\frac{CM}{CH}$，
$\because CH\bot AB$，
$\therefore \angle DHM=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$DHMG$是矩形，
$\therefore DG=MH$，
$\because CH=h$，$AB=c$，正方形$DEFG$的边长是$x$，
$\therefore MH=x$，
$\therefore CM=CH-MH=h-x$，
$\therefore \frac{x}{c}=\frac{h-x}{h}$，
$\therefore \frac{x}{c}=1-\frac{x}{h}$，
$\therefore \frac{1}{c}=\frac{1}{x}-\frac{1}{h}$，
$\therefore \frac{1}{x}=\frac{1}{h}+\frac{1}{c}$，
故选：$D$.