$\left(1\right)BD=CE$，且$BD\bot CE$，理由是：
如图$1$，延长$BD$与$EC$交于点$G$，
$\because \triangle ABC$与$\triangle ADE$都是以$A$为直角顶点的等腰直角三角形，
$\therefore AB=AC$，$AD=AE$，$\angle BAC=\angle DAE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC-\angle DAC=\angle DAE-\angle DAC$，
即$\angle BAD=\angle CAE$，
在$\triangle BAD$和$\triangle CAE$中，
$\because \left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BAD$≌$\triangle CAE\left(SAS\right)$，
$\therefore BD=CE$，$\angle ABD=\angle ACE$，
$\therefore \angle GBC+\angle BCG=\angle ABD-45^{\circ}+180^{\circ}-45^{\circ}-\angle ACE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle G=90^{\circ}$，
$\therefore BG\bot EG$，
即$BD\bot CE$；
综上所述，$BD=CE$，且$BD\bot CE$；
$(2)$分两种情况：
①如图$2$，当$\angle CFE=90^{\circ}$时，
$\because \angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC=\angle CFE$，
$\therefore AB$∥$DE$，
$\therefore \angle BAD=\angle ADE=45^{\circ}$，
$\therefore AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore AD\bot BC$，
$\therefore \triangle ABG$是等腰直角三角形，
$\because AB=10$，
$\therefore AG=BG=5\sqrt{2}$，
$\therefore DG=AD-AG=6\sqrt{2}-5\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
在$Rt\triangle BDG$中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{B{G}^{2}+D{G}^{2}}=\sqrt{(5\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=2\sqrt{13}$.
②如图$3$，当$\angle FEC=90^{\circ}$，过$A$作$AG\bot DE$于$G$，
$\because \triangle DAE$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle ADE=\angle AED=45^{\circ}$，
$\therefore \angle AEC=\angle ADB=45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}$，
$\therefore \angle ADB+\angle ADE=135^{\circ}+45^{\circ}=180^{\circ}$，
$\therefore B$、$D$、$E$共线，
$\because \triangle ADE$是等腰直角三角形，$AD=6\sqrt{2}$，
$\therefore AG=DG=6$，
设$BD=x$，
由勾股定理得：$AB^{2}=BG^{2}+AG^{2}$，
$10^{2}=6^{2}+\left(6+x\right)^{2}$，
$x_{1}=-14(舍)$，$x_{2}=2$，
$\therefore BD=2$，
综上所述，$BD$的长为$2\sqrt{13}$或$2$.

$\left(1\right)BD=CE$，且$BD\bot CE$，理由是：
如图$1$，延长$BD$与$EC$交于点$G$，
$\because \triangle ABC$与$\triangle ADE$都是以$A$为直角顶点的等腰直角三角形，
$\therefore AB=AC$，$AD=AE$，$\angle BAC=\angle DAE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC-\angle DAC=\angle DAE-\angle DAC$，
即$\angle BAD=\angle CAE$，
在$\triangle BAD$和$\triangle CAE$中，
$\because \left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BAD$≌$\triangle CAE\left(SAS\right)$，
$\therefore BD=CE$，$\angle ABD=\angle ACE$，
$\therefore \angle GBC+\angle BCG=\angle ABD-45^{\circ}+180^{\circ}-45^{\circ}-\angle ACE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle G=90^{\circ}$，
$\therefore BG\bot EG$，
即$BD\bot CE$；
综上所述，$BD=CE$，且$BD\bot CE$；
$(2)$分两种情况：
①如图$2$，当$\angle CFE=90^{\circ}$时，
$\because \angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC=\angle CFE$，
$\therefore AB$∥$DE$，
$\therefore \angle BAD=\angle ADE=45^{\circ}$，
$\therefore AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore AD\bot BC$，
$\therefore \triangle ABG$是等腰直角三角形，
$\because AB=10$，
$\therefore AG=BG=5\sqrt{2}$，
$\therefore DG=AD-AG=6\sqrt{2}-5\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
在$Rt\triangle BDG$中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{B{G}^{2}+D{G}^{2}}=\sqrt{(5\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=2\sqrt{13}$.
②如图$3$，当$\angle FEC=90^{\circ}$，过$A$作$AG\bot DE$于$G$，
$\because \triangle DAE$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle ADE=\angle AED=45^{\circ}$，
$\therefore \angle AEC=\angle ADB=45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}$，
$\therefore \angle ADB+\angle ADE=135^{\circ}+45^{\circ}=180^{\circ}$，
$\therefore B$、$D$、$E$共线，
$\because \triangle ADE$是等腰直角三角形，$AD=6\sqrt{2}$，
$\therefore AG=DG=6$，
设$BD=x$，
由勾股定理得：$AB^{2}=BG^{2}+AG^{2}$，
$10^{2}=6^{2}+\left(6+x\right)^{2}$，
$x_{1}=-14(舍)$，$x_{2}=2$，
$\therefore BD=2$，
综上所述，$BD$的长为$2\sqrt{13}$或$2$.