在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=110^{\circ}$,$AC=AB$,射线$AD$,$AE$的夹角为$55^{\circ}$,过点$B$作$BF\bot AD$于点$F$,直线$BF$交$AE$于点$G$,连结$CG$.

$(1)$如图$1$,射线$AD$,$AE$都在$\angle BAC$的内部.
①设$\angle BAD=\alpha$,则$\angle CAG=$______(用含有$\alpha$的式子表示）；
②作点$B$关于直线$AD$的对称点${B\’}$,则线段${B\’}G$与图$1$中已有线段______的长度相等；
$(2)$如图$2$,射线$AE$在$\angle BAC$的内部,射线$AD$在$\angle BAC$的外部,其他条件不变,用等式表示线段$BF$,$BG$,$CG$之间的数量关系,并证明.