作点$B$关于直线$AC$的对称点${B\’}$，连接$AB\’$、$BB\’$、${B\’}E$、${B\’}D$，
$\because AC$垂直平分$BB\’$，
$\therefore {B\’}E=BE$，$AB\’=AB=2$，
$\therefore \angle CAB\’=\angle CAB=15^{\circ}$，
$\therefore \angle BAB\’=2\angle CAB=30^{\circ}$，
作${B\’}F\bot AB$于点$F$，则$\angle AFB\’=90^{\circ}$，
$\therefore {B\’}F=\frac{1}{2}AB\’=1$，
$\therefore AF=\sqrt{AB{′}^{2}-B′{F}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$，
$\because DE+BE=DE+{B\’}E$，且$DE+{B\’}E\geqslant {B\’}D$，
$\therefore$当$DE+{B\’}E={B\’}D$，且${B\’}D$的值最小时，$DE+BE$的值最小，
$\because {B\’}D\geqslant {B\’}F$，
$\therefore$当点$D$与点$F$重合时，${B\’}D={B\’}F$，此时${B\’}D$的值最小，
$\therefore AD=AF=\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$.

作点$B$关于直线$AC$的对称点${B\’}$，连接$AB\’$、$BB\’$、${B\’}E$、${B\’}D$，
$\because AC$垂直平分$BB\’$，
$\therefore {B\’}E=BE$，$AB\’=AB=2$，
$\therefore \angle CAB\’=\angle CAB=15^{\circ}$，
$\therefore \angle BAB\’=2\angle CAB=30^{\circ}$，
作${B\’}F\bot AB$于点$F$，则$\angle AFB\’=90^{\circ}$，
$\therefore {B\’}F=\frac{1}{2}AB\’=1$，
$\therefore AF=\sqrt{AB{′}^{2}-B′{F}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$，
$\because DE+BE=DE+{B\’}E$，且$DE+{B\’}E\geqslant {B\’}D$，
$\therefore$当$DE+{B\’}E={B\’}D$，且${B\’}D$的值最小时，$DE+BE$的值最小，
$\because {B\’}D\geqslant {B\’}F$，
$\therefore$当点$D$与点$F$重合时，${B\’}D={B\’}F$，此时${B\’}D$的值最小，
$\therefore AD=AF=\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$.