项目操作：作$\angle ABC$的平分线交$AC$于点$D$，则$\triangle BCD$是“倍角三角形”，如图$1$所示：

理由如下：
在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle A=36^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=\angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=72^{\circ}$，
$\because BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle CBD=\frac{1}{2}\angle ABC=36^{\circ}$，
在$\triangle BCD$中，$\angle CBD=36^{\circ}$，$\angle C=72^{\circ}$，
$\therefore \angle C=2\angle CBD$，
$\therefore \triangle BCD$是“倍角三角形”；
项目探索：$\because \triangle ABC$是倍角三角形，$\angle A \gt \angle B \gt \angle C$，$\angle B=30^{\circ}$，
$\therefore$有以下三种情况：
①当$\angle A=2\angle B$时，则$\angle A=60^{\circ}$，
$\therefore \angle C=180^{\circ}-\left(\angle A+\angle B\right)=90^{\circ}$，
不符合条件$\angle A \gt \angle B \gt \angle C$，
$\therefore$不存在$\angle A=2\angle B$的情况；
②当$\angle A=2\angle C$时，
$\because \angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$，
$\therefore 2\angle C+30^{\circ}+\angle C=180^{\circ}$，
解得：$\angle C=50^{\circ}$，
不符合条件$\angle A \gt \angle B \gt \angle C$，
$\therefore$不存在$\angle A=2\angle C$的情况；
③当$\angle B=2\angle C$时，则$\angle C=15^{\circ}$，
$\therefore \angle A=180^{\circ}-\left(\angle B+\angle C\right)=180^{\circ}-\left(30^{\circ}+15^{\circ}\right)=135^{\circ}$，
符合条件$\angle A \gt \angle B \gt \angle C$，
$\therefore$存在$\angle B=2\angle C$的情况，
过点$C$作$CH\bot AB$交$BA$的延长线于$H$，如图$2$所示：

$\because \angle BAC=135^{\circ}$，
$\therefore \angle CAH=180^{\circ}-\angle BAC=45^{\circ}$，
$\therefore \triangle AHC$是等腰直角三角形，
$\therefore AH=CH$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}=\sqrt{2}AC$，
$\therefore AH=CH=\frac{\sqrt{2}}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}×4\sqrt{2}=4$，
在$Rt\triangle BCH$中，$\angle B=30^{\circ}$，
$\therefore BC=2CH=8$，
由勾股定理得：$BH=\sqrt{B{C}^{2}-C{H}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}=4\sqrt{3}$，
$\therefore AB=BH-AH=4\sqrt{3}-4$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CH=\frac{1}{2}×(4\sqrt{3}-4)×4=8\sqrt{3}-8$；
项目拓展：图中$\triangle ADC$和$\triangle ABC$都是“倍角三角形”，证明如下：
$\because AE=AB$，$AB+AC=BD$，
$\therefore EC=AE+AC=AB+AC=BD$，
$\because AD$平分$\angle BAE$，
$\therefore \angle EAD=\angle BAD$，
在$\triangle EAD$和$\triangle BAD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAD=∠BAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle EAD$≌$\triangle BAD\left(SAS\right)$，
$\therefore ED=BD$，$\angle ADE=\angle ADC$，$\angle E=\angle ABD$，
$\therefore ED=EC$，
$\therefore \angle C=\angle EDB$，
$\because \angle ADE=\angle ADC$，
$\because \angle EDB=2\angle ADC$，
$\therefore \angle C=2\angle ADC$，
$\therefore \triangle ADC$是“倍角三角形”，
在$\triangle CDE$中，$\angle C=\angle EDB$，
$\therefore \angle E+2\angle C=180^{\circ}$，
$\because \angle ADB+\angle ABC=180^{\circ}$，$\angle E=\angle ABD$，
$\therefore \angle ABC=2\angle C$，
$\therefore \triangle ABC$是“倍角三角形”.

项目操作：作$\angle ABC$的平分线交$AC$于点$D$，则$\triangle BCD$是“倍角三角形”，如图$1$所示：

理由如下：
在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle A=36^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=\angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=72^{\circ}$，
$\because BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle CBD=\frac{1}{2}\angle ABC=36^{\circ}$，
在$\triangle BCD$中，$\angle CBD=36^{\circ}$，$\angle C=72^{\circ}$，
$\therefore \angle C=2\angle CBD$，
$\therefore \triangle BCD$是“倍角三角形”；
项目探索：$\because \triangle ABC$是倍角三角形，$\angle A \gt \angle B \gt \angle C$，$\angle B=30^{\circ}$，
$\therefore$有以下三种情况：
①当$\angle A=2\angle B$时，则$\angle A=60^{\circ}$，
$\therefore \angle C=180^{\circ}-\left(\angle A+\angle B\right)=90^{\circ}$，
不符合条件$\angle A \gt \angle B \gt \angle C$，
$\therefore$不存在$\angle A=2\angle B$的情况；
②当$\angle A=2\angle C$时，
$\because \angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$，
$\therefore 2\angle C+30^{\circ}+\angle C=180^{\circ}$，
解得：$\angle C=50^{\circ}$，
不符合条件$\angle A \gt \angle B \gt \angle C$，
$\therefore$不存在$\angle A=2\angle C$的情况；
③当$\angle B=2\angle C$时，则$\angle C=15^{\circ}$，
$\therefore \angle A=180^{\circ}-\left(\angle B+\angle C\right)=180^{\circ}-\left(30^{\circ}+15^{\circ}\right)=135^{\circ}$，
符合条件$\angle A \gt \angle B \gt \angle C$，
$\therefore$存在$\angle B=2\angle C$的情况，
过点$C$作$CH\bot AB$交$BA$的延长线于$H$，如图$2$所示：

$\because \angle BAC=135^{\circ}$，
$\therefore \angle CAH=180^{\circ}-\angle BAC=45^{\circ}$，
$\therefore \triangle AHC$是等腰直角三角形，
$\therefore AH=CH$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}=\sqrt{2}AC$，
$\therefore AH=CH=\frac{\sqrt{2}}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}×4\sqrt{2}=4$，
在$Rt\triangle BCH$中，$\angle B=30^{\circ}$，
$\therefore BC=2CH=8$，
由勾股定理得：$BH=\sqrt{B{C}^{2}-C{H}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}=4\sqrt{3}$，
$\therefore AB=BH-AH=4\sqrt{3}-4$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CH=\frac{1}{2}×(4\sqrt{3}-4)×4=8\sqrt{3}-8$；
项目拓展：图中$\triangle ADC$和$\triangle ABC$都是“倍角三角形”，证明如下：
$\because AE=AB$，$AB+AC=BD$，
$\therefore EC=AE+AC=AB+AC=BD$，
$\because AD$平分$\angle BAE$，
$\therefore \angle EAD=\angle BAD$，
在$\triangle EAD$和$\triangle BAD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAD=∠BAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle EAD$≌$\triangle BAD\left(SAS\right)$，
$\therefore ED=BD$，$\angle ADE=\angle ADC$，$\angle E=\angle ABD$，
$\therefore ED=EC$，
$\therefore \angle C=\angle EDB$，
$\because \angle ADE=\angle ADC$，
$\because \angle EDB=2\angle ADC$，
$\therefore \angle C=2\angle ADC$，
$\therefore \triangle ADC$是“倍角三角形”，
在$\triangle CDE$中，$\angle C=\angle EDB$，
$\therefore \angle E+2\angle C=180^{\circ}$，
$\because \angle ADB+\angle ABC=180^{\circ}$，$\angle E=\angle ABD$，
$\therefore \angle ABC=2\angle C$，
$\therefore \triangle ABC$是“倍角三角形”.