C

连接$AP$，$EF$，
$\because AB=AC$，$\angle A=90^{\circ}$，
$\therefore AP\bot BC$，
$\therefore \angle APC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle APF+\angle CPF=90^{\circ}$，
$\because \angle EPF=\angle APE+\angle APF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle APE=\angle CPF$，
在等腰直角三角形$ABC$中，$AP\bot BC$，
$\therefore \angle BAP=\angle CAP=\angle C=45^{\circ}$，$AP=CP$，
在$\triangle APE$和$\triangle CPF$中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠C=45°}\\{AP=CP}\\{∠APE=∠CPF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle APE$≌$\triangle CPF$，
$\therefore S_{\triangle APE}=S_{\triangle CPF}$，$AE=CF$，$PE=PF$，
$\because \angle EPF=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle EPF$是等腰直角三角形；
即：①③正确；
同理：$\triangle APF$≌$\triangle BPE$，
$\therefore S_{\triangle APF}=S_{\triangle BPE}$，
$\therefore S_{四边形AEPF}=S_{\triangle APE}+S_{\triangle APF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，
即：④正确；
$\because \triangle \triangle EPF$是等腰直角三角形，
$\therefore EF=\sqrt{2}PE$，
当$PE\bot AB$时，$AP=\sqrt{2}EF$，而$PE$不一定垂直于$AB$，
$\therefore AP$不一定等于$EF$，
$\therefore$②错误；
故选：$C$.