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八年级数学填空题一般
题目
如图,△ABC\triangle ABC为等边三角形（即AB=BC=CAAB=BC=CA,∠ABC=∠BCA=∠CAB=60∘)\angle ABC=\angle BCA=\angle CAB=60^{\circ}),FF,EE分别是ABAB,BCBC上的一动点,且AF=BEAF=BE,连结CFCF,AEAE交于点HH,连接BHBH.给出下列四个结论:
①∠AHF=60∘\angle AHF=60^{\circ}；②若BH=HCBH=HC,则AEAE平分∠BAC\angle BAC；③S四边形BEHF>S△AHCS_{四边形BEHF} \gt S_{\triangle AHC}；④若BH⊥CFBH\bot CF,则点CC到AEAE的距离等于线段BHBH的长.
其中正确的结论有______(填写所有正确结论的序号).
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

∵△ABC\because \triangle ABC为等边三角形，
∴AB=AC\therefore AB=AC，∠BAC=∠ABC=60∘\angle BAC=\angle ABC=60^{\circ}，
∵AF=BE\because AF=BE，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△CAF(SAS)\triangle CAF\left(SAS\right)，
∴∠BAE=∠ACF\therefore \angle BAE=\angle ACF，
∴∠FHA=∠ACF+∠CAH=∠BAE+∠CAH=∠BAC=60∘\therefore \angle FHA=\angle ACF+\angle CAH=\angle BAE+\angle CAH=\angle BAC=60^{\circ}，故①正确；
∵BH=HC\because BH=HC，AB=ACAB=AC，
∴AH\therefore AH是BCBC的垂直平分线，
∴AE⊥BC\therefore AE\bot BC，
∵△ABC\because \triangle ABC为等边三角形，
∴AE\therefore AE平分∠BAC\angle BAC，故②正确；
∵△ABE\because \triangle ABE≌△CAF\triangle CAF，
∴S△ABE=S△CAF\therefore S_{\triangle ABE}=S_{\triangle CAF}，
∴S△ABE−S△FHA=S△CAF−S△FHA\therefore S_{\triangle ABE}-S_{\triangle FHA}=S_{\triangle CAF}-S_{\triangle FHA}，即S四边形BEHF=S△AHCS_{四边形BEHF}=S_{\triangle AHC}，故③错误；
如图，作CD⊥AECD\bot AE于DD，

∵BH⊥CF\because BH\bot CF，
∴∠BHC=∠CDA=90∘\therefore \angle BHC=\angle CDA=90^{\circ}，
∵∠BCA=∠BAC=60∘\because \angle BCA=\angle BAC=60^{\circ}，∠BAE=∠ACF\angle BAE=\angle ACF，
∴∠BCA−∠ACF=∠BAC−∠BAE\therefore \angle BCA-\angle ACF=\angle BAC-\angle BAE，即∠BCH=∠CAD\angle BCH=\angle CAD，
在△BHC\triangle BHC和△CDA\triangle CDA中，
{∠BCH=∠CAD∠BHC=∠CDABC=CA\left\{\begin{array}{l}∠BCH=∠CAD\\∠BHC=∠CDA\\ BC=CA\end{array}\right.，
∴△BHC\therefore \triangle BHC≌△CDA(AAS)\triangle CDA\left(AAS\right)，
∴BH=CD\therefore BH=CD，即点CC到AEAE的距离等于线段BHBH的长，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④.

解析

∵△ABC\because \triangle ABC为等边三角形，
∴AB=AC\therefore AB=AC，∠BAC=∠ABC=60∘\angle BAC=\angle ABC=60^{\circ}，
∵AF=BE\because AF=BE，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△CAF(SAS)\triangle CAF\left(SAS\right)，
∴∠BAE=∠ACF\therefore \angle BAE=\angle ACF，
∴∠FHA=∠ACF+∠CAH=∠BAE+∠CAH=∠BAC=60∘\therefore \angle FHA=\angle ACF+\angle CAH=\angle BAE+\angle CAH=\angle BAC=60^{\circ}，故①正确；
∵BH=HC\because BH=HC，AB=ACAB=AC，
∴AH\therefore AH是BCBC的垂直平分线，
∴AE⊥BC\therefore AE\bot BC，
∵△ABC\because \triangle ABC为等边三角形，
∴AE\therefore AE平分∠BAC\angle BAC，故②正确；
∵△ABE\because \triangle ABE≌△CAF\triangle CAF，
∴S△ABE=S△CAF\therefore S_{\triangle ABE}=S_{\triangle CAF}，
∴S△ABE−S△FHA=S△CAF−S△FHA\therefore S_{\triangle ABE}-S_{\triangle FHA}=S_{\triangle CAF}-S_{\triangle FHA}，即S四边形BEHF=S△AHCS_{四边形BEHF}=S_{\triangle AHC}，故③错误；
如图，作CD⊥AECD\bot AE于DD，

∵BH⊥CF\because BH\bot CF，
∴∠BHC=∠CDA=90∘\therefore \angle BHC=\angle CDA=90^{\circ}，
∵∠BCA=∠BAC=60∘\because \angle BCA=\angle BAC=60^{\circ}，∠BAE=∠ACF\angle BAE=\angle ACF，
∴∠BCA−∠ACF=∠BAC−∠BAE\therefore \angle BCA-\angle ACF=\angle BAC-\angle BAE，即∠BCH=∠CAD\angle BCH=\angle CAD，
在△BHC\triangle BHC和△CDA\triangle CDA中，
{∠BCH=∠CAD∠BHC=∠CDABC=CA\left\{\begin{array}{l}∠BCH=∠CAD\\∠BHC=∠CDA\\ BC=CA\end{array}\right.，
∴△BHC\therefore \triangle BHC≌△CDA(AAS)\triangle CDA\left(AAS\right)，
∴BH=CD\therefore BH=CD，即点CC到AEAE的距离等于线段BHBH的长，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④.

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