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八年级数学填空题一般
题目
如图,已知△ABC\triangle ABC中,AB=ACAB=AC,∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ},直角∠EPF\angle EPF的顶点PP是BCBC中点,两边PEPE、PFPF分别交ABAB、ACAC于点EE、FF,当∠EPF\angle EPF在△ABC\triangle ABC内绕顶点PP旋转时（点EE不与AA、BB重合),以下四个结论:①△PFA\triangle PFA≌△PEB;\triangle PEB;②∠PFE=45∘\angle PFE=45^{\circ}；③EF=APEF=AP；④图中阴影部分的面积是△ABC\triangle ABC的面积的一半；始终正确的有______.
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

∵AB=AC\because AB=AC，∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}，
∴∠B=∠C=45∘\therefore \angle B=\angle C=45^{\circ}，
∵P\because P是BCBC中点，
∴AP⊥BC\therefore AP\bot BC，∠CAP=∠BAP=45∘\angle CAP=\angle BAP=45^{\circ}，
∴∠B=∠C=∠CAP=∠BAP\therefore \angle B=\angle C=\angle CAP=\angle BAP，∠APB=∠APC=90∘\angle APB=\angle APC=90^{\circ}，
∴AP=PC=PB=12BC\therefore AP=PC=PB=\frac{1}{2}BC，
∵∠EPF=90∘=∠APB\because \angle EPF=90^{\circ}=\angle APB，
∴∠APF=∠BPE=90∘−∠APE\therefore \angle APF=\angle BPE=90^{\circ}-\angle APE，
在△PFA\triangle PFA和△PEB\triangle PEB中，
{∠PAF=∠BAP=BP∠APF=∠BPE\left\{\begin{array}{l}{∠PAF=∠B}\\{AP=BP}\\{∠APF=∠BPE}\end{array}\right.，
∴△PFA\therefore \triangle PFA≌△PEB(ASA)\triangle PEB\left(ASA\right)；
故①正确；
∴PE=PF\therefore PE=PF，
∴∠PFE=45∘\therefore \angle PFE=45^{\circ}；
故②正确；
∵AP=12BC，EF\because AP=\frac{1}{2}BC，EF不一定等于12BC\frac{1}{2}BC，
无法得到EF=APEF=AP；
故③错误；
∵∠EPF=90∘=∠APC\because \angle EPF=90^{\circ}=\angle APC，
∴∠APE=∠CPF=90∘−∠APF\therefore \angle APE=\angle CPF=90^{\circ}-\angle APF，
在△PFC\triangle PFC和△PEA\triangle PEA中，
{∠CPF=∠APECP=AP∠C=∠PAB\left\{\begin{array}{l}{∠CPF=∠APE}\\{CP=AP}\\{∠C=∠PAB}\end{array}\right.，
∴△PFC\therefore \triangle PFC≌△PEA(ASA)\triangle PEA\left(ASA\right)，
∴S△PCF+S△PBE=S△PAF+S△PAE=12S△ABC\therefore S_{\triangle PCF}+S_{\triangle PBE}=S_{\triangle PAF}+S_{\triangle PAE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}；
故④正确；
故答案为：①②④.

解析

∵AB=AC\because AB=AC，∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}，
∴∠B=∠C=45∘\therefore \angle B=\angle C=45^{\circ}，
∵P\because P是BCBC中点，
∴AP⊥BC\therefore AP\bot BC，∠CAP=∠BAP=45∘\angle CAP=\angle BAP=45^{\circ}，
∴∠B=∠C=∠CAP=∠BAP\therefore \angle B=\angle C=\angle CAP=\angle BAP，∠APB=∠APC=90∘\angle APB=\angle APC=90^{\circ}，
∴AP=PC=PB=12BC\therefore AP=PC=PB=\frac{1}{2}BC，
∵∠EPF=90∘=∠APB\because \angle EPF=90^{\circ}=\angle APB，
∴∠APF=∠BPE=90∘−∠APE\therefore \angle APF=\angle BPE=90^{\circ}-\angle APE，
在△PFA\triangle PFA和△PEB\triangle PEB中，
{∠PAF=∠BAP=BP∠APF=∠BPE\left\{\begin{array}{l}{∠PAF=∠B}\\{AP=BP}\\{∠APF=∠BPE}\end{array}\right.，
∴△PFA\therefore \triangle PFA≌△PEB(ASA)\triangle PEB\left(ASA\right)；
故①正确；
∴PE=PF\therefore PE=PF，
∴∠PFE=45∘\therefore \angle PFE=45^{\circ}；
故②正确；
∵AP=12BC，EF\because AP=\frac{1}{2}BC，EF不一定等于12BC\frac{1}{2}BC，
无法得到EF=APEF=AP；
故③错误；
∵∠EPF=90∘=∠APC\because \angle EPF=90^{\circ}=\angle APC，
∴∠APE=∠CPF=90∘−∠APF\therefore \angle APE=\angle CPF=90^{\circ}-\angle APF，
在△PFC\triangle PFC和△PEA\triangle PEA中，
{∠CPF=∠APECP=AP∠C=∠PAB\left\{\begin{array}{l}{∠CPF=∠APE}\\{CP=AP}\\{∠C=∠PAB}\end{array}\right.，
∴△PFC\therefore \triangle PFC≌△PEA(ASA)\triangle PEA\left(ASA\right)，
∴S△PCF+S△PBE=S△PAF+S△PAE=12S△ABC\therefore S_{\triangle PCF}+S_{\triangle PBE}=S_{\triangle PAF}+S_{\triangle PAE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}；
故④正确；
故答案为：①②④.

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