B

由题意可知，$\angle BAC=90^{\circ}$，$AB:BC=1:2$，
$A$、$\because$三条边长分别为$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{10}$，$2\sqrt{10}$，${(2\sqrt{10})}^{2}+{(2\sqrt{2})}^{2}≠{(2\sqrt{10})}^{2}$，则该三角形不是直角三角形，不符合题意，
$B$、$\because$三条边长分别为$\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$，${(\sqrt{2})}^{2}+{(2\sqrt{2})}^{2}={(\sqrt{10})}^{2}$，
$\therefore$此三角形为直角三角形，且短直角边与长直角边之比为$1:2$，
故此三角形与$\triangle ABC$相似，符合题意；
$C$、$\because$三条边长分别为$2$，$3$，$\sqrt{13}$，${2}^{2}+{3}^{2}={(\sqrt{13})}^{2}$，
$\therefore$此三角形为直角三角形，但短直角边与长直角边之比为$2:3$，
故不能证明相似，不符合题意；
$D$、$\because$三条边长分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，${(\sqrt{5})}^{2}+{(\sqrt{5})}^{2}={(\sqrt{10})}^{2}$，
$\therefore$此三角形为直角三角形，但短直角边与长直角边之比为$1:1$，
故不能证明相似，不符合题意；
故选：$B$.