A

在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=2$，$BC=1$，$AC:BC=2$，
$A$选项中，三条线段的长为$\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$，因为（$\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=(\sqrt{10})^{2}$，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为$2$，所以$A$选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与$\triangle ABC$相似；而$B$选项中长直角边与短直角边的比为$3$，$C$、$D$选项中的两直角边的比为$1:1$.
故选：$A$.