$\because a$、$b$互为相反数，
$\therefore a+b=0$，
$\because c$、$d$互为倒数，
$\therefore cd=1$，
$\because m$的绝对值是$4$，
$\therefore m=\pm 4$，
$\because n$是最大的负整数，
$\therefore n=-1$，
$\therefore$当$m=4$时，$2024\left(a+b\right)-cd+2mn=2024\times 0-1+2\times 4\times \left(-1\right)=-9$；
当$m=-4$时，$2024\left(a+b\right)-cd+2mn=2024\times 0-1+2\times \left(-4\right)\times \left(-1\right)=7$.
综上，$2024\left(a+b\right)-cd+2mn$的值为$-9$或$7$.

$\because a$、$b$互为相反数，
$\therefore a+b=0$，
$\because c$、$d$互为倒数，
$\therefore cd=1$，
$\because m$的绝对值是$4$，
$\therefore m=\pm 4$，
$\because n$是最大的负整数，
$\therefore n=-1$，
$\therefore$当$m=4$时，$2024\left(a+b\right)-cd+2mn=2024\times 0-1+2\times 4\times \left(-1\right)=-9$；
当$m=-4$时，$2024\left(a+b\right)-cd+2mn=2024\times 0-1+2\times \left(-4\right)\times \left(-1\right)=7$.
综上，$2024\left(a+b\right)-cd+2mn$的值为$-9$或$7$.