证明：$\left(1\right)\because AC=BC$，$\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABC$是等腰直角三角形，
$\because D$为$AB$中点，
$\therefore AD=CD=\frac{1}{2}AB$，$CD$平分$\angle ACB$，$CD\bot AB$，
$\therefore \angle ADC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle A+\angle ACD=\angle ACD+\angle FCD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle A=\angle FCD$，
在$\triangle ADE$和$\triangle CFD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠FCD}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ADE$≌$\triangle CFD\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle ADE=\angle CDF$；
$(2)$由（1）知$\triangle ADE$≌$\triangle CFD$，$CD\bot AB$，
$\therefore \angle ADE=\angle CDF$，$DE=DF$，
$\therefore \angle ADE+\angle EDC=\angle CDF+\angle EDC$，$\angle ADC=90^{\circ}$，
即$\angle ADC=\angle EDF$，
$\therefore \angle EDF=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle DEF$是等腰直角三角形.

证明：$\left(1\right)\because AC=BC$，$\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABC$是等腰直角三角形，
$\because D$为$AB$中点，
$\therefore AD=CD=\frac{1}{2}AB$，$CD$平分$\angle ACB$，$CD\bot AB$，
$\therefore \angle ADC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle A+\angle ACD=\angle ACD+\angle FCD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle A=\angle FCD$，
在$\triangle ADE$和$\triangle CFD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠FCD}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ADE$≌$\triangle CFD\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle ADE=\angle CDF$；
$(2)$由（1）知$\triangle ADE$≌$\triangle CFD$，$CD\bot AB$，
$\therefore \angle ADE=\angle CDF$，$DE=DF$，
$\therefore \angle ADE+\angle EDC=\angle CDF+\angle EDC$，$\angle ADC=90^{\circ}$，
即$\angle ADC=\angle EDF$，
$\therefore \angle EDF=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle DEF$是等腰直角三角形.