如图,正方形$ABCD$的边长为$4$,点$E$、$F$分别在边$DC$、$BC$上,且$BF=CE$,$AE$平分$\angle CAD$,连接$DF$,分别交$AE$、$AC$于点$G$,$M$,$P$是线段$AG$上的一个动点,过点$P$作$PN\bot AC$,垂足为$N$,连接$PM$.有下列四个结论:①$AE$垂直平分$DM$；②$PM+PN$的最小值为$3\sqrt{2}$；③$CF^{2}=GE\cdot AE$；④${S}_{△ADM}=4\sqrt{2}$.其中正确的是（ ）