D

①$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AD=DC=BC$，$\angle ADC=\angle DCB=90^{\circ}$，
$\because BF=CE$，
$\therefore BC-BF=DC-CE$，
即$CF=DE$，
在$\triangle ADE$和$\triangle DCF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADE=∠DCF}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ADE$≌$\triangle DCF\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle DAE=\angle CDF$，
$\because \angle CDF+\angle ADG=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAE+\angle ADG=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AGD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AGM=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AGM=\angle AGD$，
$\because AE$平分$\angle CAD$，
$\therefore \angle MAG=\angle DAG$，
又$AG$为公共边，
$\therefore \triangle AGM$≌$\triangle AGD\left(ASA\right)$，
$\therefore GM=GD$，
又$\because \angle AGM=\angle AGD=90^{\circ}$，
$\therefore AE$垂直平分$DM$，
故①正确；
②如图，连接$BD$与$AC$交于点$O$，交$AG$于点$H$，连接$HM$，
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AC\bot BD$，
即$DO\bot AM$，
$\because AE$垂直平分$DM$，
$\therefore HM=HD$，
当点$P$与点$H$重合时，$PM+PN$的值最小，此时$PM+PN=HM+HO=HD+HO=DO$，即$PM+PN$的最小值是$DO$的长，
$\because$正方形$ABCD$的边长为$4$，
$\therefore AC=BD=4\sqrt{2}$，
$\therefore DO=\frac{1}{2}BD=2\sqrt{2}$，
即$PM+PN$的最小值为$2\sqrt{2}$，
故②错误；
③$\because AE$垂直平分$DM$，
$\therefore \angle DGE=90^{\circ}$，
$\because \angle ADC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DGE=\angle ADE$，
又$\because \angle DEG=\angle AED$，
$\therefore \triangle DGE$∽$\triangle ADE$，
$\therefore \frac{DE}{AE}=\frac{GE}{DE}$，
即$DE^{2}=GE\cdot AE$，
由①知$CF=DE$，
$\therefore CF^{2}=GE\cdot AE$，
故③正确；
④$\because AE$垂直平分$DM$，
$\therefore AM=AD=4$，
又$DO=2\sqrt{2}$，
$\therefore {S}_{△ADM}=\frac{1}{2}AM•DO=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，
故④正确；
综上，正确的是：①③④，
故选：$D$.