D

方法一：
由数轴可得：$b \lt 0 \lt a$，
取$a=0.2$，$b=-0.8$，则
$\frac{a}{b}=\frac{0.2}{-0.8}=-0.25$，$a+b=0.2+\left(-0.8\right)=0.6$，$a+b^{2}=0.2+\left(-0.8\right)^{2}=0.2+0.64=0.84$，$a-b=0.2-\left(-0.8\right)=0.2+0.8=1$，
最大的是$1$，故选项$D$正确，
方法二：
由数轴可得：$b \lt 0 \lt a$，
因为$\frac{a}{b} \lt 0$，$a+b \lt 0$，$a+b^{2} \gt 0$，$a-b \gt 0$，而$a-b \gt a+b^{2}$，
所以$a-b$最大，
故选：$D$.