D

如图，连接$AP$、$EF$，
$\because AB=AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABC$是等腰直角三角形，
$\because$点$P$是$BC$的中点，
$\therefore AP=BP=PC=\frac{1}{2}BC，AP⊥BC$，
$\therefore \angle APE+\angle APF=\angle CPF+\angle APF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle APE=\angle CPF$，
同理可得：$\angle PAE=\angle C$，
$\therefore \triangle APE$≌$\triangle CPF\left(ASA\right)$，
$\therefore AE=CF$，$PE=PF$，故①正确；
$\therefore \triangle EPF$是等腰三角形，
又$\because \angle EPF$是直角，
$\therefore \triangle EPF$是等腰直角三角形，故③正确；
$\because \triangle APE$≌$\triangle CPF$，
$\therefore S_{\triangle APE}=S_{\triangle CPF}$，
$\therefore S_{\triangle APE}+S_{\triangle PAF}=S_{\triangle CPF}+S_{\triangle PAF}$，
$\therefore S_{四边形AEPF}=S_{\triangle APC}$，
$\because P$是$BC$的中点，
$\therefore {S}_{四边形AEPF}={S}_{△APC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，故④正确；
假设②正确，由$BE+CF=EF$，$AE=CF$得$BE+AE=EF$，即$AB=EF$，
$\because \triangle ABP$和$\triangle EPF$都是等腰直角三角形，
$\therefore BP=EP$，
$\therefore B$，$E$两点重合，或$A$，$E$两点重合，与题设不符，故②不正确，
综上，正确的有①③④.
故选：$D$.