B

作点$D$关于$BC$的对称点${D\’}$，作点$E$关于$AC$的对称点${E\’}$，连接${D\’}{E\’}$分别交$AC$，$BC$于点${M\’}$，${N\’}$，连接$ME\’$，$ND\’$，$EM\’$，$DN\’$，

则$ME=ME\’$，$ND=ND\’$，
$\therefore$四边形$DEMN$的周长$=DE+ME+MN+ND=DE+ME\’+MN+ND\’\geqslant DE+{D\’}{E\’}$，
$\because DE$长固定，
$\therefore$点$M$与${M\’}$重合，点$N$与点${N\’}$重合时，四边形$DEMN$的周长最小，此时$\angle DNM+\angle EMN=\angle DN\’M+\angle EM\’N$，
由对称性和三角形外角性质可知：$\angle DN\’M=\angle {N\’}DD\’+\angle {N\’}{D\’}D=2\angle {N\’}{D\’}D$，$\angle EM\’N=\angle {M\’}EE\’+\angle {M\’}{E\’}E=2\angle {M\’}{E\’}E$，
$\therefore \angle DN\’M+\angle EM\’N=2\angle {N\’}{D\’}D+2\angle {M\’}{E\’}E=2\left(180^{\circ}-\angle {D\’}DE\’\right)$，
设$DD\’$与$BC$交于点$H$，
$\because AB=AC$，$\angle A=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BDH=45^{\circ}$，
$\therefore \angle {D\’}DE\’=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$，
$\therefore \angle DN\’M+\angle EM\’N=2\left(180^{\circ}-135^{\circ}\right)=90^{\circ}$，
即当四边形$DEMN$的周长最小时，$\angle DNM+\angle EMN$的大小是$90^{\circ}$，
故选：$B$.