A

由题意得，正方形$A$的面积为$1$，
由勾股定理得，正方形$B$的面积$+$正方形$C$的面积$=1$，
$\therefore$“生长”了$1$次后形成的图形中所有的正方形的面积和为$2$，
同理可得，“生长”了$2$次后形成的图形中所有的正方形的面积和为$3$，
$\therefore$“生长”了$3$次后形成的图形中所有的正方形的面积和为$4$，
$\ldots \ldots$
$\therefore$“生长”了$2021$次后形成的图形中所有的正方形的面积和为$2022$.
故选：$A$.